Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
— а*1 (Р')—а1(Р') — а1 (P) — {a*1 (Pr) — а‘ (P)} — (QaiIdxk + Tlkrar) dxk — a\kdxk является инфинитезимальным вектором в точке P'. С точностью до малых второго порядка по (dxk) величина a\k dxk является также инфинитезимальным вектором в точке P, и поскольку это справедливо для любого инфинитезималь-ного вектора dx1, то величины a\k должны быть смешанными компонентами тензора ранга 2.
Рассматривая аналогичным образом ковариантные компоненты аг векторного поля и используя при этом (9.124), вместо (9.118), находим, что величины
являются ковариантными компонентами тензора. В геодезической системе и, в частности, в декартовой системе координат плоского пространства, где символы Кристоффеля равны нулю, ковариантное дифференцирование (9.184) и (9.185) совпадает с обычным дифференцированием.
Теперь рассмотрим векторы а1 векторного поля, связанные с точками кривой С, заданной в параметрическом представлении Xі = х1 (?,). Они образуют векторное поле а> (X), определенное на С, а абсолютные производные (9.132), (9.133) можно тогда в соответствии с (9.184), (9.185) представить в виде
DaiIdX = da JdK—Г;* at dxkIdX — ai% k dxk/dX.
Операцию ковариантного дифференцирования можно применить также и к тензорным полям более высокого ранга. Рассмотрим, например, тензорное поле ранга 2 с контравариантными компонентами tik. Поскольку каждый индекс отдельно преобразуется по тому же правилу, что и вектор, величины
с двумя контравариантными индексами и одним ковариантным индексом являются смешанными компонентами тензора ранга 3. Это можно проверить (точно так же, как и в случае векторного поля) с помощью формул преобразования для тензоров и символов Кристоффеля. Аналогично величины
являются, соответственно, чисто ковариантными и смешанными компонентами тензора третьего ранга. Эти правила ковариантного дифференцирования можно
Qi- k = OaiIdxk-TrikUr
(9.185)
Dai (X)IdX = dai/dX + a1 dxkfdX = (da‘/dxk + Tlki a1) dxk/dX =
= а[ k dxkjdX\
(9.186)
t\ki - dtik/dxl + ò㥠+ Tltir
(9.187)
и
(9.188)
239
распространить и на тензорное поле ранга п. В этом случае количество членов, содержащих символы Кристоффеля, также равно п. Если же положить
ф. i = dq>/dx, (9.189)
то данное правило можно применить и к тензорному полю нулевого ранга. Поскольку скалярное произведение aft1 двух векторных^полей а1Ь1 является скалярным полем, имеем
(at Ь1)-к = Ь‘ OaiIdxk + at Bbi/Bxk = (BaiIdxk—Гriftar) bl +
+ at (BbiIBxk + Y1kr br) = аи kb1 + at b\ k, (9.190}
т. e. известное правило дифференцирования произведения выполняется и для ковариантного дифференцирования. Легко видеть, что это правило применимо к произведению любых двух тензоров произвольного ранга, например:
(tikak);i^tik;iak + tikak!;
&k)', і ~ “Г b
(9.191)
Теперь тождества (9.123) и (9.125) можно представить в форме
gik; gik = 0, (9.192)
т. е. ковариантные производные метрического тензора равны нулю. Поэтому при ковариантном дифференцировании формул (9.16) и (9.17) получим
ai; i = gtk;iak + gika^l = gika^l-, a[t = gikak; /. (9.193)
т. e. величины ai;k и a\k являются компонентами одного и того же тензора ранга 2. Таким же способом можно показать, что величины t\1, t\k; и ttk: і, оп-
ределяемые в (9.187) и (9.188), являются компонентами одного и того же тензора ранга 3.
Чтобы получить обобщение дифференциальных операторов, введенных в § 4.16 для частного случая псевдоевклидова пространства, достаточно в соответствующих формулах § 4.16 обычное дифференцирование заменить кова-риантным дифференцированием. Тогда для ротора векторного поля at получим
rotik {a) = akX i—Qi-Il = BahIBxi—BaJBxk. (9.194)
Здесь величины, содержащие символы Кристоффеля, сократились. Кова-риантное выражение для дивергенции вектора получается сверткой тензора aik, т. е.
div {а'} = а\. — BaiIBxi + Yiir аг, (9.195)
что с учетом (9.128) можно представить следующим образом:
да1 а‘ д 1 д ,
div {а1} = дхі +ущ dxiV\g\=Y^\~^r{yr\g\ а1). (9.196)
В (3 + ^-пространстве^ — отрицательно, т. е. |,д| — — g, а для пространства с положительно определенной метрикой g >* 0 и jg| = g. Теперь ковариант-ное выражение для оператора Д’ Аламбера принимает вид
? ijj = div {grad = —I= (V\g\gik Bty/Bxk). (9.197)
V\8\ д*‘
240
Контравариантные компоненты дивергенции тензорного поля Tik имеют вид di Vі {Т} — Т\\ = дТikIdxk + Пг Trk + Tkkr Tir =
Р=т A (/Iil Tik) + T1kl Tkl, (9.198 а)
Vllfl дхк
а ковариантные компоненты
div, {Т} = Tfik = - J= JL iV\g\Tl)-Гг.is Trs. (9.198б) У Ul <з*й
Для симметрического тензора с учетом (9.78) это выражение сводится к
div‘|Т) = Ш1?"(У ^711 “Т (9л">
Для антисимметрического тензора Fik вследствие симметричности Г*/ последний член в формуле (9.198а:) будет равен нулю, следовательно,
divi(f) = y=^r(Kl«lf“)- (9-200)
Далее, для ротора антисимметрического тензора получим следующее выражение:
rotifei {F} = Fik., [ + FkIl і + Fm * = OFihIdx1 + dFJtJdxi + dFn/dxk. (9.201)
Здесь величины, содержащие символы Кристоффеля, сократились. Операторы граОиента и ротора увеличивают ранг тензорного поля, а оператор дивергенции уменьшает его на единицу. Из формул (9.180), (9.194), (9.196), (9.200) и (9.201) получаем далее следующие тождества для скалярного, векторного и антисимметрического тензорного полей соответственно:
