Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Все точки системы отсчета R, соответствующей 5 (P), движутся относи-
гельно системы S с одинаковой постоянной скоростью гД1 = dx4dt\ в резуль-
тате, дифференцируя (9.89) и полагая dx^ = 0, получаем
dx1 = е*и^х*; I
V^lc- dx*.Idxi = e%je\,j,. j (9.93)
Аналогично для 4-скорости частицы Ui = dxl!dx имеем выражение Ui = = e\k)dxkldx, т. е.
(Ji = SmUk; Ui^einUk. (9.94)
С помощью лоренцеЕа вращения первоначальной тетрады получим новую тетраду Х‘{а), А.-п) в точке Pi-.
W = Al CiP-, K{a) = Abaelb), (9.95)
224
где коэффициенты вращения Al, Aba удовлетворяют тем же соотношениям (9.1 Г), (9.26), что и коэффициенты преобразования Лоренца. Легко видеть, что векторы новой тетрады Я(в) также удовлетворяют тем же соотношениям (9.81), (9.84) и (9.86), что и векторы первоначальной тетрады.
По аналогии с (9.88) и (9.89) тетрада Vla) генерирует новую систему локально псевдоевклидовых координат (у1):
уі=\<Р {хк—х$У, х1 = х*Р+Ь\к)уК (9.96)
Согласно (9.96), (9.95), (9.89) и (9.84) связь между Xі и у1 дается преобразованиями Лоренца:
уі = (X1-X1P) = A1m е\т) e[k) хk = Aik хК (9.96')
Соответствующим поворотом (9.95) тетрады всегда можно четвертому тетрадному вектору придать любое времен и подобное направление в пространстве — времени.
Пусть, в частности, е\й) — тетрада в точке Р, у которой вектор eh) лежит
О Q
в направлении временной линии системы S, т. е. = 0. Тогда из (9.81) —
Q
(9.84) и (9.86) для этой тетрады получим
*[*) = —?A)i=blJ v—gw
fun = — = StJV-gt&={vvL.—(i + 2x/c2)1/2};
g(u) =z p = 0'
O 4 4
(9.97)
g( *> ey _ §v; gu e(%) v __ nrttv _ Vuv.
«Д о (А) Ц’ „ (A,) „ s ' >
f(z,) nfv ^ Ym, Yv Yjiv
Величины
(9.98)
являются контравариантными компонентами пространственного метрического тензора, удовлетворяющими трехмерному аналогу соотношений (9.7), поскольку в соответствии с (8.64), (8.63) и (9.7) имеем
YvA = (gvk — gv4 gu/gii) = gvl + Ifli4 gv4
или
YiaYvz,= 6S- (9.98у)
Пусть S (P): х‘ — система координат, образованная тетрадой e\aV Полагая в (9.96) у1 — Xі, }}kl) = е[1) и используя (9.97), получаем
XM- = CvfiUxv — Хр); хі = е[4'>{хУ—xVj> (9.99)
т. е. линейные калибровочные преобразования (8.59). Таким образом системы
отсчета R и R совпадают. Этот результат согласуется с формулами (9.93) и
о
показывает, что относительная скорость двух систем отсчета равна нулю, поскольку в данном случае пространственные компоненты тетрадного вектора еги) равны нулю.
Если Ui — 4-скорость частицы в точке Р, то можно выбрать тетраду
¦6(a)) ГДЄ
elU) = UiIc. (9.100)
S Зак . 1 174 225
Тогда локальная псевдодекартова система S0 (P) с координатами хОІ, образованная этой тетрадой, является мгновенной системой покоя частицы, поскольку из (9.94) и (9.100) имеем U0i = е(к JJk-C e{k — сЬ\. Преобразование от S (P) к S0 (P) является, очевидно, преобразованием Лоренца с постоянными коэффициентами:
dx0i/dxk = A1k = е\1)
і .
(*>>
дхк/дх0і =Aki= e\k) е\о = ef) 8fc) e[l) e\k) = Si eh) Al
(9.101)
Теперь пусть S : Xі и S' : x‘l— две системы координат, соответствующие двум системам отсчета R и R'. В системе S введем локальную псевдодекартову систему 5 (P) с координатами Xі, образованную тетрадой eil) (R) в точке Р, удов-
оо о
летворяющей соотношениям (9.97). В системе S' введем другую локальную псевдодекартову систему S' (P) с координатами х'1, образованную другой тетрадой eil) (Rr) в точке Р, удовлетворяющей в Sf соотношениям типа (9.97).
° V V
Тогда система отсчета R', соответствующая S' (P), будет совпадать с R', т. е.
R' = R', R0 = R. Преобразование Xі -+Xі в общем случае нелинейно, но
о оо
в точке P коэффициенты преобразования должны удовлетворять соотношениям (9.25), (9.26). Это непосредственно следует из того, что обе системы S (P) и S' (P) псевдодекартовы В точке P1 Т. е. gik (P) = Tlifc = gik (P). Легко видеть., что коэффициенты преобразования в точке P имеют вид:
dx'4dx^Ai = e\!)(R') e[k)(R);
OO О О
дхЧдх'^Л1 = e\k) (R) е\п (Rf) = ей ей) Al
(9.102).
В момент времени t = О 4-скорость начала xr = О системы R' относительно в °
S (P) равна
о
Vi = CAi=-CS0At (9.103)
о
[см. (9.17), (9.28)], а соответствующая 3-скорость определяется выражением.
= CV^JVi = сА^/А1 (9.103')
О OO
Поскольку система отсчета R' совпадает с Rf, то Vі можно интерпретировать
о ^ о
также как 4-скорость системы R' относительно 5 (P) в точке Р.
V» °
В CHCTeMeS (P) метрический тензор имеет простую псевдодекартову форму (9.92) только в точке Р. В соответствии с (9.91) метрический тензор gik (^зависит от (х1), поэтому в общем случае даже первые производные Ogik (P)Idx1 в точке P не равны нулю. Следовательно, в S (P) также присутствует гравитационное поле, и система S не обладает наиболее существенными свойствами инерциальных систем. Однако преобразования (9.88) представляют собой очень ограниченный класс преобразований, приводящих к локальным псевдоевкли-довым системам координат в точке Р. Фактически любое преобразование-вида
