Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
о
всегда можно ввести такую систему координат 5, в которой метрический тензор и его первые производные принимают значения (9.109) в каждой точке P данной времениподобной кривой в 4-пространстве.
Упражнение
Исследовать в окрестности точки P движение системы отсчета R относительно системы R (P) соответствующих системам координат, связанных преобразованиями (9.105) * .
с тетрадой е^ = удовлетворяющей (9.97). Движение точки (*^) системы R
228
относительно S (P) получается исключением величины (Xі — Xip) из четырех уравнений (9.105), что приводит к трем уравнениям в форме Xii = /** (xv, °t). Тогда скорость и ускорение точки (л*1) относительно З будут иметь вид
о
и)1 = Ofil (xv, t)Idt\ an = З'2 (xv, t)ldt--
О ООО е ©
Для малых значений (х^ — *р) ускорение в момент времени t = 0 в первом приближении по я11 — Xp равно
>= — е<р> av (<3)/[1 + 2Х(Р)/с2], (9.114)
где av(0) — ускорение (9.111) начала 6 системы .§ (P) относительно S. Множители e(vu)
и (1 + 2% (Р)/с2)~1 обусловлены, соответственно, различными ориентациями осей и раз-
ностью хода времени в системах S и S, а знак минус означает просто, что ускорение сис-
O0 о
темы J? относительно H противоположно по направлению ускорению R относительно к.
о о
Ускорение (9.114) одинаково во всех точках, где (Xі1 —эг?) мало, в отличие от скорости,
о
которая при t = Отравна
(9.115)
а а
где
(Я) е«е(Н).
V fcX,- а ’
(9.115')
e>.-(c2/c*){r?j4 + cr“4Yx/C*}(P). )
Выраженный через Yixv-Vn' X пространственный тензор є“ принимает следующую форму (см. приложение 4):
г1 = (dw + “W Vva- (9Л16>
где (O^v — пространственный антисимметрический тензор (8.135), а
dXx = (с/2с*) (DyhxZdt). (9.117)
dXv и coXv являются пространственными тензорами относительно полной группы калибровочных преобразований (8.59) (см. § 9.16). Эти тензоры, входящие в выражение.'для
и11 в (9.115), соответствуют расширению и жесткому вращению системы отсчета R относи*
о
тельно S.
Следовательно, введенный в § 8.113 пространственный тензор (O^v описывает вращение системы отсчета R относительно локальной инерциальной системы. Как мы увидим в § 10.2, 10.3, это вращение вызывает в общем выражении для гравитационной силы, действующей на свободно падающую частицу, появление члена, аналогичного силе Корио-лиса.
§ 9.7. Параллельный перенос векторов
Пусть а' — контравариантные компоненты вектора в точке (Xі). С помощью формул Кристоффеля легко показать, что величины a*1 = а‘ + dp а\ где
dP а1 = — Г&/ dxk а1, (9.118)
преобразуются как контравариантные компоненты вектора в точке (xl + dx'). Из (9.80), (9.10)jh (9.11) получаем
dp а'1= —Tkfdxlk а'1= ¦—Tkl aknalndxm ап =
= [ — аУ{даЦдх'1) а1пакт—4т{П11] dxma«. (9.119)
Кроме того, дифференцирование (9.11) дает
а{ даЦдх11-{-аі да{ідхп— 0. (9.120)
229
Отсюда с учетом (9.11) и (9.14) первый член в круглых скобках (9.119) можно записать в виде
X dxman-\~alrdpar, так что, пренебрегая величинами второго порядка малости по dxполучаем следующую формулу преобразования для величин а1 + dp а
(9.121) следует, что величины а= а1 + dP а1 представляют собой контравариантные компоненты вектора в точке (х‘ + dx1).
В плоском|пространстве вектор а*1 совпадает с вектором, полученным путем параллельного переноса вектора а1 из точки (Xі) в точку (Xі + dx‘), поскольку при введении псевдодекартовых координат символы Кристоффеля, а с ними и величины dp а1 исчезают, и вектор а*1 становится равным вектору а?. При использовании криволинейных координат в плоском пространстве контравариантные компоненты векторов а‘ и а*1 будут отличаться на величину dp а?, определяемую формулой (9.118). Поэтому в римановом пространстве естественно определить параллельный перенос вектора также формулой (9.118).
В системе локальных координат Лоренца, как и в псевдодекартовой системе координат псевдоевклидова пространства, компоненты а1 вектора в рассматриваемой точке при параллельном переносе не изменяются. Из (9.118) следует, что норма'вектора, в также скалярное произведение двух векторов а1 и b1 в точке (х1) не изменяются при параллельном переносе, поскольку в соответствии с (9.118)
вытекающее из (9.77) и (9.78).
Далее, cj: учетом (9.118) имеем другое тождество:
О = dp (CLi b‘) == dpat &—at Г*/ dxkbl = (dp Cii—Г« dxka^} bl.
Поскольку вектор b'1 произвольный, то отсюда получаем следующую формулу для изменения ковариантных компонент вектора при параллельном переносе:
и поскольку это равенство должно выполняться при любых dx\ аи b-t, то
Теперь все выражение (9.119) принимает форму dp a'1 = (Sa1Jdxm) X
а'1 -J- dp а'1 — [а1п (х) + (да Jdxm) dxm] Cn + + «я dp ап — а*„ (х + dx) (ап + dP ап),
(9.121)
где aln (х + dx) — коэффициенты преобразования в точке (xl -f dx1). Из
dp (gik a1 bk) = (dgih/dxl) dx1 Qi b^—gik TL dx1 as bk—gih a1Г* dx1 bs =
= dx* Ui b* (dgih!dx'-grh ГTa-gir Г«) = 0. (9.122)
Здесь мы использовали тождество
dgiJdxl—grk Ги— gir Th = 0,
(9.123)
