Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку а1 и Fik — тензорные поля, интегралы (9.217) — (9.221) инвариантны (или псевдоинвариантны) при произвольных координатных преобразованиях. Однако, вследствие того, что эти уравнения получены с помощью правила интегрирования по частям (см. доказательство теоремы Гаусса в трехмерном пространстве в приложении 1), они будут выполняться в любой системе координат, даже если а1 и Fik = — Fki не имеют тензорных свойств. Конечно, тогда интегралы (9.217)*— (9.221) уже не будут инвариантными, Ho сами уравнения все еще будут выполняться. Поэтому если Tki — 16 произволь-
243
з ых функций от (л:), занумерованных с помощью индексов і и k, то справедливы следующие четыре уравнения, соответствующие (9.218):
$ Tl.к dx = ^TltdSh. (9.222)
а і:
Точно так же для совокупности 24 функций (х) = — г|4* по аналогии с (9.221) имеем
J^dSfc= ^fdSh. (9.223)
2 о
Поскольку мы ничего не предполагали о трансформационных свойствах функций Tki и ^1, интегралы в этих уравнениях преобразуются совершенно произвольным образом. Однако необходимо заметить, что если даже T1i, —
тензорные плотности, так что Tkt dSh и tyfdfti в каждой точке области
интегрирования векторы, то интегралы в правых частях (9.222) и (9.223) в общем случае не будут преобразовываться как векторы. Это будет выполняться лишь в плоском пространстве с прямоугольными координатами. В общем случае такие интегралы уже не имеют простого геометрического смысла.
§ 9.1В. Тензор кривизны
Пусть Cth — произвольное векторное поле, a аь,і — тензор ранга 2, полученный ковариантным дифференцированием ah:
ак; і = OahIdx1 -TrkIаг = OahIdxi-Tr, kiаг. (9.224)
Аналогичным образом можно записать и тензор ранга 3, полученный ковариантным дифференцированием тензора ak;t:
@k' I; m == Odifj i!dxm Г*яг Clft / Г іщ ak¦ т — Odk- //dxm Г г, krn і Tjm Qft; г > (9.225)
где а-1 находится из (9.184) или (9.193). Подставляя первое выражение (9.224) в первое равенство (9.225), получаем выражение для ak:!-m, которое будет линейной функцией OT йі и его первых и вторых производных. Однако если из этого выражения вычесть соответствующее выражение для ah:mU, полученное изменением порядка ковариантного дифференцирования, то производные от йі сократятся и будем иметь
;; m m; I — R-klm (9.226)
где коэффициенты при аг следующие:
Riklm = dTit/dxn-dTL/dxi + Ttrm —Г'| TL. (9.227)
Теперь, используя в (9.224) и (9.225) вторые равенства, аналогичным образом
получаем
ak- I- m — ak; m\ I = — Rihlm (9.228)
где
Rihlm -OTit PdIdxm дгі _ hmldx1 + ГJ7 ГГі hm Tim Гr, kl =
= --- (д2 gii/dxk Oxm + Oi gkJdxl Ox1 — d2 gimldxk dx1 — d2 gklfdxl Ox™) +
~rgrs (Гг, а Г.. km rr. гтГ5і hl). (9-229)
Поскольку для любого векторного поля at левые части в (9.226) и (9.228) — тензоры, величины R1-IlIjn и Rikim должны быть компонентами одного и того же тензора четвертого ранга, т. е.
R1. klm = ^ Rnhlm- (9-230)
244
Тензор Rihim называется тензором кривизны Римана — Кристоффеля. Равенства (9.226) выражают правило коммутации для ковариантного дифференцирования векторного поля. Соответствующее правило ковариантного дифференцирования тензорного ПОЛЯ tih имеет вид
tki; т; п — tki; п; т — R-kmn R-Imn tki- (9.231)
Геометрический смысл тензора кривизны становится очевидным, если рассмотреть параллельный перенос вектора а' вдоль контура инфинитезимального параллелограмма, определяемого двумя инфинитезимальными векторами (idx') и (бх1). Как уже говорилось в § 9.7, вектор а*1, полученный в результате этого процесса, в общем случае отличен от вектора а1. С помощью закона параллельного переноса (9.118) и (9.124) простыми вычислениями легко проверить, что разности Aai = а— а‘, Aai = а* — Cti между компонентами этих векторов определяются выражениями
Ш = Р1.ЫмаЧо1т12- Aai = RiuijnCLkClolmV, (9.232)
где dalm — dx1 ох:п—dxm Ьх1.
В плоском пространстве, где можно ввести систему координат, в которой компоненты метрического тензора постоянны, очевидно, имеем
Rihlm = 0. (9.233)
Таким образом, это уравнение — необходимое условие, чтобы пространство было плоским. Это условие является и достаточным; так как если (9.233) выполняется во всех точках, то можно найти такое преобразование (9.9), которое приводит к компонентам g'ih, не зависящим от пространственно-временных переменных (хч) (см. приложение 5).
Из (9.229) непосредственно следует, что тензор кривизны удовлетворяет алгебраическим соотношениям
Rihlm ~ Rikml Rhilm= Rlmihy (9.234 а)
Riklm "Ь Rilmk “Ь Rimht — 0- (9.234 6)
Кроме того, тензор кривизны удовлетворяет ряду дифференциальных тождеств, которые можно получить следующим образом [21]. Учитывая|общее правило для ковариантного дифференцирования свертки произведения тензоров, из {9,226) ковариантным дифференцированием получаем
Oki I; т• п @k; т; l\ п — Ri-Hm; п Cli Ri. klm &i; п •
Складывая это равенство с двумя другими, полученными из него циклической перестановкой индексов I, т, п, получаем
(flfe; I; т; п ah% I; п; т) 4“ п; I ak; nt; /; п) iflk; п; I; т —&k; п; от; I) —