Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
dP Cii = T1ik dxk Cil = Tit ih dxk a1.
(9.124)
С помощью этой формулы находим, что
0 = dP (gik at bk) = dx1 Cii bh (dgiktdxl + gir Tku + gkr Titr),
dgikldxl + gir ТІ + gkr T\r = 0. Умножая (9.123) на gik и используя (9.7), получаем
Г;* = (1/2)^г OgklIdxi = -(1/2)ghl dgkl/dxl.
(9.126)
(9.125)
230
KtJOMe того, с помощью известной формулы для производной определителя, используя (9.6) и (9.7), находим, что
dgfdx1 = Ahl OghlZdxi = ggH SghlZdxi - —gghl DgklJdxi. (9.127) Следовательно,
Г?л = (1/2g) (dgZdxf) = д/дх* In /|7f. (9.128)
Рассмотрим снова геодезическую, определяемую уравнением (9.76). Поскольку К — инвариантный параметр,
Ui = dxi/dX (9.129)
является вектором, касательным к геодезической. Тогда (9.76) можно переписать в виде
dUlIdX = — Yikl (dxk/dX) U1. (9.130)
Сравнивая (9.130) с (9.118), видим, что с помощью параллельного переноса вдоль геодезической получаются различные векторы Ui. Этим свойством геодезические линии напоминают прямые линии в евклидовом пространстве. Таким образом, геодезическая линия, соединяющая две точки, является не только линией со стационарным значением длины, но и «наипрямейшей» линией. Поэтому норма вектора Ui не изменяться вдоль геодезической, т. е. gikUlUk не зависит от X в соответствии с (8.31).
Если это свойство геодезических записать для ковариантных компонент Ui вектора dxlIdX, то согласно (9.124) и (9.78) получим
dUJdX = Tlt ih Uk Ui - (Titik + Tfei и) Uk U1/2 = (BghlIdXi) Uk U1/2. (9.131)
Это равенство совпадает с уравнением (9.57).
Формула (9.118) определяет изменение компонент вектора, обусловленное его инфинитезимальным параллельным переносом вдоль вектора dx1. Тогда полное изменение вектора а1, обусловленное его параллельным переносом вдоль конечной кривой, можно получить с помощью интегрирования. В плоском пространстве полное изменение вектора а1 в результате параллельного переноса по замкнутому контуру должно быть равно нулю. Это особенно очевидно в декартовой или псевдодекартовой системах координат, в которых компоненты вектора а1 вообще не изменяются при параллельном переносе. Результирующий вектор в этом случае после прохождения по замкнутому контуру должен просто совпасть с исходным. Этот вывод не должен измениться и тогда, когда перенос осуществляется в криволинейной системе координат. В искривленном пространстве результирующий вектор а*1, вообще говоря, будет отличен от исходного вектора а1, причем разность а*1 — а1 зависит от выбора замкнутой кривой (см. § 9.13). Таким образом, если данный вектор переносить параллельно из точки P1 в точку P2 вдоль некоторой кривой, соединяющей эти две точки, то результирующий вектор а*1 зависит от формы этой линии, если пространство искривленное, и не зависит, если пространство плоское. Фактически это единственное существенное различие между плоским и искривленным пространствами.
§ 9.8. Абсолютная производная. Перенос Ферми — Уолкера
Рассмотрим в 4-пространстве произвольную кривую С, заданную в параметрическом представлении Xі = Xі (^). Если X — инвариантный параметр, то вектор Ui(X) = dxi/d.X является касательным вектором к кривой. Теперь предположим, что с каждой точкой Xi(X) связан некоторый вектор а1 (X), т. е., что на кривой С определено векторное поле. Тогда обычная производная dal (X)IdX в общем случае не будет вектором, поскольку da1 — Oi (X -f- dX) — а1 (Я)
231
является разностью компонент векторов ас (P') на' (P) в двух различных точках Р’ и P кривой С. Однако абсолютная производная, определяемая формулой
Dai (X)/dl = da4dX + Tiki Uk а1, (9.132)
является, очевидно, вектором в точке P с координатами Xі (Я). В самом деле, из (9.118) следует, что
Pflt' _ Ит дС(Р')-ас(Р)-{а*ЧР')-а!(Р)} _ Ит а1 (Р')-а*1 (P') Z9il32')
dX P'AX р'-*р AX
где a* (Pt) — вектор, полученный параллельным переносом вектора а‘ (P) в точку Pr, с координатами Xі (X + ДХ). В локальной лоренцевой системе координат точки P абсолютная производная совпадает с обычной производной.
Аналогично в соответствии с (9.124) абсолютные производные от ковариант-ных компонент Cti определяются формулой
Dai (X)ZdX == daJdX—Tfj ik Uk а1 — daJdX—¦ Г^, Uk at (9.133)
и являются ковариантными компонентами вектора с контравариантными компонентами DaiIdX, т. е.
DaJdX = gih DakZdX. (9.134)
Это соотношение легко получить с помощью формул (9.16), (9.78) и определений (9.132), (9.133). Из (9.132) и (9.133) получим также следующее правило дифференцирования скалярного произведения аф1 двух векторов а1 и b1 на С:
dat ЪЦйХ = Ь1 DaJdX + щ DbiZdX. (9.135)
Теперь уравнения (9.130), (9.131) для геодезической можно переписать в виде
DU1ZdX-Q; DUiZdX = O, (9.136)
где X — специальный параметр типа, упоминавшегося в § 8.10. Уравнения
(9.136) выполняются также для мировых линий свободно падающих частиц и световых лучей.
В самом общем случае говорят, что вектор ас (X) подвергается параллельному переносу вдоль кривой, если
Dai(X)IdX = Dai(X)IdX = 0. (9.137)
Соотношения (9.137) инвариантны при произвольных преобразованиях параметра X. Очевидно, что норма вектора, как и скалярное произведение двух векторов а‘ и Ыу не изменяется при параллельном переносе, так как из (9.135),
