Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
rot {grad ф} = rot {rot {a}} = div {div F} = 0. (9.202)
Все рассмотренные здесь ковариантные операции можно применить также и к псевдотензорным полям. В результате получаются псевдотензорные поля меньшего или большего ранга. Ротор антисимметрического тензора Fih является тензором, дуальным к дивергенции псевдотензорного поля:
F9ik = eiklmFlm/2, (9.203)
т. е*
rotihl{F} = eihlmd\vm{F*}, (9.204)
что легко проверяется с помощью формул (9.49), (9.200) и (9.201).
В трехмерном пространстве аналогичным образом с помощью (9.74') находим следующие соотношения между дивергенцией и ротором антисимметрического тензора Hliv и его дуальным аксиальным вектором Н:
div H = у—1Z2 HflIdxil =(IVy-V2)BiwXdHvXldx* =
= (1/3!) (OHvXlOxix + OHxvIdx4 +
+ OH^Idxx) = (1/31) TotlivJ, [HixX]', } (9.205)
CliVfi [HlivI = Y-1/2 d(YI/2 ^ltv) /Oxv = y~l/2 BllvXOHxlOxv =
= e»vX (OHxIOxv-OHvIdxx)j2 = rot11 H.
§ 9.11. Ковариантное дифференцирование тензорных плотностей
Пусть с? (х) — векторное поле с плотностью й1(х) (степени 1), определяемой в соответствии с (9.72):
a1 (X) = ^r — ga^x). (9.206)
241
Гогда ковариантная производная a\k определяется как плотность ковариантной производной aS т. е.
= (9-207)
Обозначим обычную частную производную по хк символом ,h в отличие от ковариантной производной, которая обозначается символом ;k.
Тогда из (9.207), (9.184) и (9.206) имеем
Q' * = 1 к + Цга') = k + Цг аг - «г (-Sr)!
или с учетом (9.128)
<9-208)
Данное выражение для ковариантной производной тензорной плотности ранга 1 легко обобщить на тензорную плотность произвольного ранга. Для тензорной плотности ранга 2 имеем, например:
'I*t^+r;, t'*+г*. t"-t« г- j (9
?, = K=Srf < = t‘ ,-г;, t‘+r‘ t;-<* г,v J
Аналогично, если ранг равен O1 т. е. для скалярной плотности
si(x) = Y~-gL(x), (9.210)
имеем
у (X)1I = У — gL(x)- і = Y — gL(x),i= 2{x),i— 2 (X) rr[r. (9.211)
Здесь мы использовали (9.128) и (9.189). В частном случае скаляр L (х) может
быть одинаковым во всем пространстве. Тогда, выбирая L (х) = 1, из (9.210)
находим, что
2 (X) = Y^g (9.212)
является скалярной плотностью, что также вытекает из (9.46) и (9.71). В соответствии с (9.212) эта скалярная плотность имеет нулевую ковариантную
производную, т. е.
(-^llx2 = O- (9.213)
Поэтому все формулы (9.207) — (9.211) для ковариантного дифференцирования тензорных плотностей можно получить из соотношений (9.69), (9.72), пользуясь обычным правилом дифференцирования произведения.
Дивергенция тензорной плотности определяется как плотность дивергенции соответствующего поля. Ротор тензорной плотности определяется аналогично. Таким образом, в соответствии с (9.196) или (9.208) дивергенция векторной плотности является скалярной плотностью:
div {a} = Qfjt- = (—g)1,2 div {а} = а*(9.214)
т. е. в данном случае ковариантное дифференцирование может быть заменено обычным дифференцированием. То же самое справедливо и для случая антисимметричной тензорной плотности ранга 2, поскольку в соответствии с (9.200) или (9.209) имеем
div4'{5) в5'\ = (-g)'/2div{F} =3«. (9.215)
В общем случае дивергенция тензорной плотности ранга 2 имеет более сложный вид. Для симметричной тензорной плотности, например, имеем в соответствии с (9.199):
242
divf {t} = t* & = (—g)1 diVi {T} = tk. k—trs g,s>(./2. (9.216)
Этот результат легко получить также из (9.209), учитывая (9.78) и симметрич-
ность $ik = Qw.
§ 9.12. Интегральные теоремы
Теперь обобщение гауссовых теорем (4.191), (4.194) очевидно. Если Q — область в 4-пространстве с трехмерной границей 2, то в соответствии с (9.63) для любого векторного поля а1 с плотностью а1 имеем
J div (a) dQ = J div {a} dx — J єа‘ (9.217)
QQS
или, используя (9.57) и (9.214):
f a1, dx = fealdSi =J еа' гІЬІТЛ dxk bxl Axm. (9.218)
?2 2 2
Чтобы знак в правой части уравнения (9.218) был правильным, инфинитези-мальные векторы dxk, бх1, Axm, лежащие в трехмерном пространстве 2 и входящие в определение (9.57) dSt и ^fSi, должны выбираться так, чтобы вектор d2j был направлен из области Q.
Теорема Гаусса выражает интеграл в 4-пространстве через интеграл па области трехмерного пространства. Аналогично обобщенная теорема Стокса преобразует интеграл по двухмерной поверхности / в интеграл по замкнутой кривой s, ограничивающей поверхность /. Тогда для любого векторного поля а1 имеем
J roti7l {a} doik = J Cti dx1. (9.219)
f s
Однако для случая 4-пространства справедлива еще одна теорема, аналогичная теоремам Гаусса и Стокса, которая преобразует интеграл по трехмерному пространству (гиперповерхности) 2 в интеграл по ее двумерной границе <г. Так, например, для произвольного антисимметрического тензорного поля Fik ~ = — Fhi с плотностью '5'* имеем
(1/3!) j rot,.fcI {/7} dZ т = j Fih da* (9.220)
2 О
И
J (d%ik!dxk) dSt = J dS*k, (9.221)
2 о
где dSi, doik, dS% — величины, определяемые формулами (9.57), (9.52) и (9.54). Как и в (9.218), мы должны в (2.219) — (2.221) выбрать инфинитези-мальные векторы, определяющие объемный и пространственные элементы [247, 248]. Теоремы (9.220) и (9.221), имеющие формы теорем Стокса и Гаусса соответственно, тесно связаны. Фактически согласно (9.204), (9.54), (9.57) уравнение (9.220) в применении к тензорному полю Fik эквивалентно уравнению (9.221) в применении к дуальному тензору F*ik.
