Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
V10=-C [gM/( —g44)%]o> (9.272)
249
где [ J0 указывает, что функция в скобках берется при Xі = 0. Пусть
Xt = JiHXv, т)=/''(*'V') (9.273)
решение системы (9.271) с начальными условиями
JHxv, 0) = (*'11 ПРИ і==»
I 0 при i = 4;
Ofi (*'v, 0)/dt' =Ui0 = -с [gu/(-g44)1/2lo-
(9.274)
Тогда рассматриваемую задачу можно сформулировать следующим образом: показать, что преобразование
Xi = JiIZv, XiIc) (9.275)
приводит к гауссовой системе координат. По тем же соображениям, что использовались при выводе (9.266), из (9.274) следует, что при х-'4 = Xі — 0
g|l4</v, 0)=0. (9.276)
Кроме того, при всех значениях (х 1)
?44 = -1. (9.277)
Это вытекает из формулы (8.66), поскольку t' — время, показываемое стандартными часами, покоящимися в R'. Наконец, легко видеть, что производная по времени от?ц4 везде равна нулю, т. е.
=0. (9.278)
Это следует из уравнения (9.271), если его записать в координатах системы S’, поскольку скорость V 1 покоящейся в S' частицы равна, очевидно, V L =c8j, dV’i/dx =0. Поэтому Г44 = 0, что вместе с (9.277) приводит к (9.278). Из (9.276) — (9.278) видно, что преобразования (9.275) определяют систему (9.269).
Геометрически систему типа (9.269) в 4-пространстве можно представить следующим образом. Поверхности (9.249) — параллельные, т. е. расстояние между двумя соседними поверхностями 2, соответствующими значениям Xі и (х'4 + dx’*), такое же, что и между всеми соответствующими точками на обеих поверхностях, и равно і dx*. Кроме того, кривые N, нормальные к семейству поверхностей 2, т. е. мировые линии точек отсчета Xі = const — времени-подобные геодезические.
В соответствии с (9.252) и (9.269) функция /4 (х) в (9.243) является решением следующего дифференциального уравнения в частных производных:
(gradj Iі) (grad* f4) = gik (BfiIdxi) (OfiIdxh) = — I. (9.279)
В примере, рассмотренном в упражнении, функция /4 (х) обладала тем специальным свойством, что при всех х^ она равнялась нулю, когда х4 = 0. Однако это не необходимое условие. Любое решение (9.279) можно использовать для построения гауссовой системы.
Вместо того, чтобы придавать четырем компонентам метрического тензора определенные значения, можно потребовать, чтобы компоненты метрического тензора удовлетворяли четырем дифференциальным условиям. Важным примером таких координатных условий являются соотношения де Дондера
{(-g)% SikIk = O, (9.280)
значительно упрощающие многие вычисления в ОТО. Системы координат (Xі), удовлетворяющие условиям де Дондера, были названы Фоком 193] гармоническими координатами. Он утверждал, что такие координаты имеют особое физическое значение. Мы не присоединяемся к такой точке зрения, выделяющей преимущественный класс координатных систем. В соответствии с общим принципом относительности, все системы с одинаковым основанием применимы для нашего описания природы. Это дает нам в каждом случае возможность, выбора такой системы координат, которая обеспечивает наиболее простое описание рассматриваемого частного физического явления.
250
Упражнение
Показать, что четыре функции /‘ (хк)в преобразовании (9.243), связывающие произвольную систему S с системой 5' гармонических координат, являются решениями уравнения
О -Ф (ж) = 0. (9.281)
где ? —ковариантный оператор Д’Аламбера (9.197).
Друґим полезным примером координатных условий являются соотношения Эйнштейна:
gkldgkl/dx‘ = 0. (9.282)
В соответствии с (9.126) и (9.127) их можно представить в виде Г** = 0,
dgjdx1 = 0, т. е. g — const. Постоянную всегда можно положить равной — 1.
Поэтому условия (9.282) эквивалентны требованию, чтобы определитель g метрического тензора везде был равен—1;
g = —1. (9.282')
§ 9.16. Калибровочно-инвариантные величины.
Стандартные 4-тензоры.
В предыдущих параграфах мы рассматривали множество величин, которые для полной группы общих пространственно-временных преобразований являлись векторами и тензорами. Однако часто приходится иметь дело с величинами, которые ведут себя как тензоры при более ограниченной группе преобразований. Например, упоминавшиеся в § 9.5 аффинные тензоры являются тензорами лишь относительно линейных преобразований. Теперь исследуем подгруппу преобразований (8.59), названных в § 8.13 калибровочными преобразованиями. Чтобы избежать ненужных усложнений, рассмотрим лишь такие преобразования, для которых а* = дх'Чдх4, > 0, т. е. откажемся от использования часов, идущих в обратном направлении. Таким образом, рассматриваемые калибровочные преобразования имеют вид
X^ = XrIi(Xv); Xri = Xni(Xi);]
«Ї-Я-О; «}>0. ) <9-283>
При таких преобразованиях система отсчета R, соответствующая системе координат S, не изменяется, так как преобразования (9.283) просто вводят другое упорядочивание точек отсчета и изменяют скорость и установку хода координатных часов. Калибровочные преобразования (9.283) могут быть составлены из чисто пространственного преобразования
х'H = Xtx(Xv); Xti = Xi, (9.284)
которому предшествовало произвольное изменение масштаба времени
