Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
xi=eil) (xk—Хр)(х), (9.104)
где г)?1' (х) — произвольные функции, первые производные которых равны нулю в точке P, приводит к системе с локальными свойствами (9.92). Таким.
226
образом, бесконечным числом способов можно выбрать функции aj)z (х) так, чтобы в новой системе первые производные метрического тензора в точке P равнялись нулю. Это достигается, например, с помощью преобразования
Тогда с помощью (9.80) в новой системе для символов Кристоффеля получим выражения
Tki (P) — 0; Pitkl (P) = O. (9.108)
Это значит, в соответствии с (9.78), что в точке P первые производные метри-
Любая геодезическая, проходящая через точку Р, в том числе и мировые линии свободно падающих частиц и световые лучи, в системе S (P) описывается уравнениями (9.76) с символами Кристоффеля (9.109). Следовательно, в точке P уравнения геодезических линий CPxiIdX2 = 0 совпадают по форме с (8.92) для мировых линий свободно падающих частиц в лоренцевой системе координат СТО. В малой окрестности точки Р, где можно пренебречь величинами второго порядка малости по х?, метрический тензор можно считать постоянным. Гравитационное поле локально отсутствует, а система 5 называется локальной инерциальной системой с локальными лоренцевыми координатами. В СТО координаты Лоренца совпадают с псевдодекартовыми координатами. Однако в ОТО следует различать локальную псевдодекартову систему S (P), в которой (9.92) выполняется лишь в точке Pt и соответствующую локальную лоренцеву систему § (P), где метрический тензор также «локально постоянный».
Принцип эквивалентности Эйнштейна, изложенный не очень строго в § 8.2, теперь может быть точно сформулирован следующим образом: в каждой точке P все законы природы, выраженные через локальные лоренцевы координаты Xі, имеют ту же форму, что и в СТО. Тогда простым координатным преобразованием эти же законы можно выразить и в общей системе координат, где присутствуют гравитационные поля. (Необходимое для этого развитие тензорного анализа в римановом пространстве будет продолжено в следующих параграфах.) Лоренцево вращение (9.95) тетрады в (9.105) приводит к новой локальной лоренцевой системе координат, связанной с первоначальной преобразованием Лоренца. Если тетрада удовлетворяет условию (9.100), то для частицы с 4-скоростью Ui в точке P преобразование (9.105) приводит к локальной инерциальной системе покоя S0 (P). Если же в (9.105) используем тетраду .¦<?* * типа (9.97), то получаем систему S (P) с локальными лоренцевыми коорди-
3* 227
Xi= e(rl) (Xr-XrP) + ^eir0Trsi(P) Us-XSp) (Xi-Xp)t
(9.105)
которое с учетом (9.86) можно записать в виде
е\Г) Xr = Xi-Xp-SrTU(P) (х5 — л:р) (х1—хр)12.
о
Дифференцируя (9.106) по гг, получаем
e\k) = a‘k + Tsi (P) а% (хе—Хр); a? = OxiIdxk.
Еще одно дифференцирование по х! дает
0 = Oa1kIda1 + П/ (P) {да%/dxl (х{ — Xtp) + ask a'}. Поэтому в точке Р, где Xi-Xp, имеем
a? (P) = e[k)\ Oa1kIdx1 + Tit (P) al а\ = 0.
(9.106)
(9.107)
(9.109)
натами °.кг‘, Система отсчета R в отличие от системы R0 не совпадает с R, посколь-
О ° ... о
ку преобразование (9.105) с ei ~ не является калибровочным преобразованием. Точки отсчета системы R в общем случае движутся относительно S, но
* •
при t — tp скорость начала О системы R равна нулю. Уравнение движения
о о о
точки О относительно S мы получаем из первых трех уравнений (9.106), пола-
° І І оо
гая в них С(г) = в(г) и Xix=X^ = 0. С учетом (9.107) это дает:
О Q
XV-XtP+ YГІІ(Р) Ixs-Xp) (**—А&) =0. (9.110)
Из уравнения (9.110) следует, что х^ = X1P при t = tP = хр;с, т. е. О проходпт через точку системы R в момент времени tp. Кроме того, дифференцируя (9.110) дважды по t и полагая в полученных уравнениях Xі = х1р, находим, скорость Uv- — dxv/dt и ускорение а» — cPx4dt2 начала О в момент времени tP:
о
Ui* = 0; а» — —с2 Г**4 (P). (9.111)
Выражая символы Кристоффеля через потенциалы) (уц, х) и Ytiv, получаем (см. приложение 4)
Г jt4=c-*y»v(dx/dxv-i-c*dyv/dt). (9.112>
Из сравнения (9.111), (9.112) с формулами (8.108), (8.110) видно, что начало' О свободно падает в гравитационном поле системы R, а в момент времени
19 о
tp покоится, т. е. обладает нулевой скоростью. Точки системы R в малой ок-
о °
рестности О представляют собой свободно падающий «лифт Эйнштейна», в котором отсутствует гравитационное поле. Следует заметить, однако, что этот лифт как целое в общем случае не будет покоиться при t = tP, а будет подвергаться относительно R деформациям растяжения и кручения. Исследование этого вопроса оставляем читателю (сравните с упражнением в конце этого параграфа).
Если в правые части уравнений (9.105) прибавить произвольные функции (я), удовлетворяющие условиям
OtyiIdxk (P) = 0; OhpiI1 OxkOx1 (P) ~ 0, (9.113)
то получится дополнительно множество локальныхУлоренцевых. систем координат. Вблизи точки P добавление функции -ф1' окажет влияние в метриче-
о
ском тензоре лишь на величины второго порядка относительно ^^,ответственные за «приливные эффекты». Соответствующим выбором (х) (например, используя нормальные римановы координаты) можно придать этим величинам удобную форму, но в случае неустранимого гравитационного поля их нельзя исключить полностью. Однако в дальнейшем (§ 9.9) мы увидим, что
