Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
При заданных функциях f*(x) система координат S' определяется с точностью до чисто пространственных преобразований (.к'^). Поэтому параметры (х'^), характеризующие каждую кривую N, могут быть выбраны совершенно произвольно. В качестве таких параметров можно выбрать коорди-
247
наты (х^) точки пересечения кривой N с поверхностью 2 (9.249), соответствующей х'4 = 0, т. е.
х'» = х11 при Xri = O. (9.251)
В этом случае система S' полностью определяется выбором функции /4 (х). Из формулы преобразования (9.36) для тензора имеем
g/44 = (OfiIdx1) (OfiIdXm) g'« = (gradj /4) (grad* f4); (9.252)
g'n4 = (df^/dx1) (df^/dx"1) glm = (df^/dxl) (grad; f4). (9.253)
Таким образом, функции f» (x) являются решением системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с граничными условиями (9.251), согласно которым
/!»(*) = *!* (9.254)
на гиперповерхности
/4 (х) = 0. (9.255)
Произвольность в выборе определяющих параметров кривых N и функций f4, (х) показывает, что для данного метрического тензора в S существует бесконечное количество времениортогональных систем S'.
Самое простое преобразование S -> S' получается при следующем выборе функции f4 (х):
f4 (х) = X4. (9.256)
Тогда формула (9.243) при і = 4 имеет вид
х'4 = X4 (9.257)
и преобразование заключается лишь в изменении системы отсчета; при этом компонента g44 метрического тензора преобразуется как скаляр. Фактически из (9.252) и (9.256) имеем
g'44 = df 64mg!'” = g**. (9.258)
Из данного геометрического рассмотрения следует с очевидностью существование^ целого класса систем S'. Однако для определения функций /4 в (2.243) или функций /'(*')'
в обратных преобразованиях
X1^ji(Xlk) (9.259)
при заданном gik (х) в 5 более удобно и физически более поучительно рассмотреть движение точек отсчета системы R' относительно 5 в трехмерном физическом пространстве. Для случая (9.157), когда временная переменная не изменяется, это движение можно описать движением (безмассовой) жидкости, которая в любой точке (Xtt) в R и в любой момент времени t движется CO скоростью
иУ" (***» t) = dx^/dt = Cglil4 / gxi. (9.260)
Поскольку правые части в (9.260) — известные функции от и t, дифференциальные уравнения (9.260) вместе с начальными условиями полностью определяют движение каждой «частицы» жидкости. Легко видеть, что скорость всегда меньше скорости света» поскольку если dx1 — линейный элемент мировой линии частицы, т. е. dx‘ = (u^dt, cdt) = CdtgliIgii, то имеем ds2 = gihdxldxk = c2dtigifigligki/(gii)2 =
= AWg44 < 0, так что dx‘ — времениподобный вектор. Следовательно, различные частицы жидкости могут быть выбраны в качестве точек отсчета в допустимой системе отсчета R' (см. § 8.7).
Пусть теперь
/=1"?,/) (9.261)
— решение системы уравнений (9.260) при начальных условиях
1ЧС0) = 4- (9.262>
248
Оно описывает движение частицы из начальной точки (хд) при t— 0. Если заменить теперь аргументы д.'о и ( в функциях в (9.261) на х ^ и t' = XriIc соответственно, то уравнения
***=/•*(* v> 0; j (9.263)
• Xi = Xri J v
будут представлять собой искомые формулы преобразований. В самом деле, во-первых, (9.263) соответствует (9.257) и начальным условиям (9.251), так как при Xri — 0 с учетом (9.262) имеем
Xtx = Jvixv, о) = X^x. (9.264)
Во-вторых, с помощью (9.23), (9.261) и (9.260) получим
дх^/дх’4 = (Ifc) д/11 (х v, t')Idtr =^gV4Zgu;
' <9-265)
В результате с учетом (9.7) имеем
gi А = {дкЧдх,]х) (DxmZdxi) glm = (dxK Zdxix) ^iZgii) gxf) +^4} =
= (BxxZdxV) (gm4g%m)ZSii = O- (9.266)
Таким образом, мы получили преобразование, приводящее к времениортогональной
-системе координат 5'. Кроме того, система S' обладает тем свойством, что во всех точках
grii = g44- С другой стороны, пространственные компоненты метрического тензора имеют вид
glxv = (dx4dxlx)(dxmldxv)gim={d'fk(x]x, t,)ldxft}ldja(xix, t)Zdx'v] gXa. (9.267) Поэтому g' = g лишь при
*¦» = х'* = 0. (9.268)
В общем случае g|o.v — более сложные функции ОТ времени, даже если gfiv от времени
й не зависят.
Рассмотренное преобразование не определяет однозначно все свойства функций f* (х) и Ji (х) в (9.243) и (9.259). Поэтому соответствующим выбором этих функций можно определить целый класс систем S', в которых скалярный и векторный потенциалы равны нулю, т. е.
Til=rX = O; }
' п ' т (9-269)
gfl4 = 0; g44 = — I.) ;
Координаты в таких системах называются гауссовыми координатами.
Упражнение Показать, что такую систему можно получить:
1) полагая, что точки отсчета х ** в R'—свободно падающие частицы со следующими начальными координатами и скоростями:
X11 = X'txI Uix (x'v, 0) =CgixiZgii1 (9.270)
где t — t' = 0;
2) используя в 5' в качестве координатных часов стандартные часы, движущиеся вместе с точками отсчета.
Доказательство
Движение точек отсчета (х'**) описывается уравнениями (8.96) или уравнениями
DVtZdx = dV'4dx + Tlkl Vk V1 = O, (9.271)
где V1 = dxlZdx — 4-скорость, а х — собственное время, т. е. координатное время t’ в S'. В соответствии с (9.270) начальная 4-скорость равна:
