Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы получить g% ((), мы должны в Ai (т) заменить т на t, т. е.
gx(t) = Ai.(t). (9.151)
Рассмотрим движение частицы в неустранимом гравитационном поле, когда на нее дополнительно действуют негравитационные силы, т. е. случай искривленного пространства — времени. В произвольной системе 5 координат (х;) мировая линия С частицы снова описывается уравнениями типа (9.145). Ho теперь 4-ускорение равно абсолютной производной от скорости Ui. Как и в случае плоского пространства, определим на С поле тетрад, подвергаемых переносу Фермц—Уолкера, причем для простоты выберем их в форме (9.143), так чтобы
Є(4) (т) = U1 (т)/с, Є(4)Лг = 0; C1wUi = 0. (9.152)
234
(9.147)
Тогда формула переноса для e\V) определяется уравнениями (9.144), т. е.
Delv) (т)1йт = Wil e[v) і = с-2 U1 (A1 elv) і). (9.
(9.153)
Для данной мировой линии величины U1 и А ‘ можно считать известными функ-
также можно считать известными функциями.
Теперь выберем систему координат х‘ — (хм-, сі) со следующими свойствами.
1. Кривая С определяется уравнениями х»- = 0 и t = %, т. е. частица все время находится в начале О системы отсчета R, а временная переменная t равна собственному времени частицы.
2. Локально, т. е. в малой пространственной окрестности частицы, где можно пренебречь величинами второго порядка малости по (хх), метрика при любом t имеет форму (9.149).
натами Xі = (т), которые также можно считать известными функциями от т.
Система координат (9.155) удовлетворяет, очевидно, условию 1. Кроме того, с помощью (9.132), (9.154), (9.152) и (9.156) уравнения (9.153) можно записать в виде
de[v) (T)Idx= —Г« (P) Ur e'(V) -\-c-*U‘gv= —cT(4v) -\-c~2U'1 gv. (9.157)
Поэтому с учетом (9.152) и (9.154) компоненты 4-скорости и 4-ускорения частицы в системе S имеют вид
циями от т и при заданных начальных значениях e\v) (0) векторы тетрады e[V) (т) однозначно определять из уравнений (9.153). Тогда величины
gy (т) = efv) (т) A1 (т)
(9.154)
Такая система 5 получается, например, с помощью преобразований
Коэффициенты а* = дхЧдхк найдем, дифференцируя (9.155) по хк. Таким способом с помощью (9.157) в первом приближении по хК получим
Для точки (jc'), достаточно близкой к С (при малых Xf-1):
gih (х) = а\ CLbglm(X).
(9.160)
(9.161)
Здесь а\ определяются из (9.156), а переменные (х) и (х) связаны соотношениями
(9.155).
235
Для любого точечного события P на С с координатами
Xі (О, О,
Xі' = Г (Ї)
в системах ShS соответственно из (9.161), (9.159) и (9.81) имеем
gih (P) = e[i) ?$) Sm (P) = Tlih- (9.163)
Таким образом, во всех точках кривой С система S — локально псевдоевкли-
дова. Если пожелать, чтобы система S обладала лишь этим свойством, то по-
следний член в правой части преобразований (9.155) можно отбросить. Однако, как мы сейчас увидим, введение последнего члена позволяет в системе S локально исключить внешнее гравитационное поле.
Для любой точки вблизи точки P (9.162) на С, используя разложение в ряд Тэйлора и пренебрегая всеми величинами второго порядка малости по х%, получаем
gim (х) = gim + (xn — fn (t)) dglm/dxn = glm+ епа) (t) х% dg^/dx", (9.164)
где черточки указывают, что функции берутся в точке (9.162). Подставляя (9.158) и (9.164) в (9.161), в первом приближении по хх для метрики в S в окрестности О и при любом It получаем выражение
gih = eU) е0<)1+ KdgimlOxn) е"?>) — <?икГ(Н) — e{k)l Г(ад]*Я +
+ с-2 (6;4 е(4) e(k)i + Sfi4 6(4) е(о i) gx xx. (9.165)
С помощью формулы (9.156) для T[im) и с учетом (9.78) выражение в скобках во втором члене правой части (9.165) принимает вид
(PglmIOxn-Yumn-Vmtln) е[п е"к) е"х, = 0.
Использование тетрадных соотношений (9.81) в результате дает
gik==4)ih— б;А« -2^(0Xх/с%. (9.166)
Таким образом, локально, т. е. в окрестности ObR, метрика в S имеет ту же форму (9.149), что и в случае плоского пространства •— времени. Это означает, что в системе S выполняются оба условия 1 и 2. Пространственная метрика Vuv = Smv —¦ евклидова, а гравитационные силы устранимые и обусловлены
¦V
ускорением системы отсчета R. Неустранимое внешнее гравитационное поле исключено преобразованием (9.155). Его действие описывается лишь величинами второго порядка малости по хК
Система S координат (х1) не является полностью геодезической на кривой С, поскольку на С не все символы Кристоффеля равны нулю. Однако легко видеть, что единственные не равные нулю компоненты Ты следующие:
Wx = Fu =? = gx (0/с3. (9.167)
Пусть P — произвольная точка на мировой линии С с координатами в системе S:
хр = &[ст. (9.168)
Тогда с помощью преобразования^вида (9.105) получим систему S(t) координат (?), геодезическую в точке Р. Если в (9.105) выбрать е(г1) = б,, то коорди-
236
0, ct)-,
(9.162)
латные кривые в обеих системах S и Set) в точке P совпадут и преобразование (9.105) примет вид
х(г) =Xi—Xpjr fs< (P) (xs —хр) (Xt—хр)/2. (9.169)
Учитывая (9.167) и (9.168), в результате имеем
CD = Xм- 4- (1 /2с2) Ям. (*) (х4 — ст)2; 1
