Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
А каков ответ (кроме устойчивости по мере) на вопрос об устойчивости для значений параметров е и ц, которые лежат в не-заштрихованной части плоскости е, |л на рис. 18 и 19 и при которых нет резонансов третьего и четвертого порядков? При достаточно малых е и значениях |л, не принадлежащих резонансным кривым пятого и шестого порядков (в табл. 5 и 6 приведены соответствующие порождающие точки при е = 0), а также при [і Ф ц' = 0,00861, [і Ф [і" = 0,01656..., ц Ф \і"' = 0,00509... и, быть может, значениям из интервала (0, 0,0242938...), соответствующим двукратным резонансам выше шестого порядка, в настоящей главе мы показали формальную устойчивость точек либрации. А какова ситуация при значениях е, не являющихся малыми и лежащих в незаштрихованных областях рис. 18 и 19?
Можно было бы в принципе провести нормализацию функции Гамильтона до членов шестого порядка включительно и показать,
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
171
что в незаштрихованных областях рис. 18 и 19 (вне кривых, соответствующих резонансам до шестого порядка включительно, и вне некоторого числа кривых, на которых система уравнений (6.5) имеет нетривиальное решение при гх > О, га О, и вне, быть может, тех точек (е, ц), в которых выполнены условия существования двукратных резонансов выше шестого порядка) имеет место формальная устойчивость. Но нормализация гамильтониана до членов шестого порядка в нашей задаче связана с чрезвычайно громоздкими вычислениями. Поэтому, исходя из того, что в «общем случае» результат исследования будет именно таким, как только что было сказано выше, мы и не проводили численного исследования при учете членов до шестого порядка в разложении функции Гамильтона.
В заключение выскажем еще некоторые соображения об устойчивости точек либрации для значений параметров ей ц, лежащих в незаштрихованных областях рис. 18 и 19 и принадлежащих кривым резонансов пятого и шестого порядков. Предположим, что резонансы однократные, т. е. выполняется только одно резонансное соотношение + к2Х2 = N при | кг | + | к2 | = 5 или 6 и нет резонансных соотношений более высокого порядка. В «общем случае» такое предположение справедливо. Множество точек кратных резонансов имеет нулевую меру.
При резонансе пятого порядка функция Гамильтона в нормальной форме имеет вид
Я = Vl + Va + С20Г1 + С11Г1Г2 + С02г\ +
+ Угі r22 sin (fcjcp! + /с2фг — Nv) + О ((гх + г2)3).
А при резонансе шестого порядка нормальная форма будет такой:
Я = Vl + V2 + С2<Л + Cn^rjj + c02rl + c30rl + c21r?r2 +
?і! IM
+ Cl2rlrt + С03Г2 + &Г1 sin (/Схфі + /с2ф2 — Nv) +
+ о ((Г1 + г2)т/«).
Если в резонансном соотношении к^ + к2К2 = N целые числа кг и к2 имеют разные знаки, то, согласно Мозеру [157], имеет место формальная устойчивость. Если же кх и к2 имеют одинаковые знаки, то возможна неустойчивость, но для этого необходимо, чтобы величина c2fjk\ cnkjk2 + с02^ равнялась нулю. В противном случае по теореме Брюно (см. главу 5) имеет место формальная устойчивость.
Число всех резонансных кривых пятого и шестого порядков равняется тридцати четырем: шестнадцать резонансных кривых пятого и восемнадцать — шестого порядков. Двадцати четырем
172
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 9
из них соответствуют резонансные соотношения с одинаковыми знаками к1 и к2: двенадцать резонансных соотношений пятого и двенадцать — шестого порядков.
Значения величины с2акг + сикхк2 + с02к\ на всех резонансных кривых пятого и шестого порядков (с одинаковыми знаками у чисел kt и к2) были вычислены на ЭВМ. При расчтах мы ограничились значениями е 0,5. Значения параметров е и ц, при которых велиина с20&? + Сцк^ + с02к\ обращается в нуль, представлены табл. 8. В ней же выписаны соответствующие резонансные соотношения.
Таблица 8
Резо- нанс 3Xi—f— +2Х2=2 Ь%і=—Ї ЗХ.1—J— +2Хг=1 ЗЛ.1 —}— +2X2=1 6>*=-i 4X1-}- +2Х2=3 Xi-f- 5X2= 2Ьі+4Х2= = — 1 2Xi-f-4X2= = — 1 5Хі-{- + Х2=3
е 0,192 0,061 0,141 0,191 0,498 0,179 0,078 0,135 0,181 0,144
0,0161 0,0197 0,0392 0,0407 0,0015 0,0154 0,0183 0,0391 0,0406 0,0397
Для первых четырех пар резонансных значений е и |х табл. 8 в «общем случае» будет иметь место неустойчивость по Ляпунову, так как при резонансе пятого порядка условие неустойчивости
Y ф 0 в «общем случае» выполнено.
Для остальных шести пар резонансных значений е и |х, в зависимости от соотношений между коэффициентами нормальной формы функции Гамильтона, возможна как неустойчивость по Ляпунову, так и устойчивость в конечном порядке.
ГЛАВА 10
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
§ 1. Тождественный резонанс
В этой главе, следуя [64, 661, рассмотрим устойчивость треугольных точек либрации пространственной эллиптический задачи трех тел. Задача об устойчивости в этом случае по сравнению с уже рассмотренными в главах 7—9 случаями является самой сложной и громоздкой. Кроме увеличения числа степеней свободы изучаемой динамической системы, здесь возникает еще одна, характерная только для этой задачи, особенность: имеет место тождественный (т. е. существующий при всех е и jj,) резонанс, возникающий из-за равенства периода кеплеровского движения основных притягивающих тел S и / и периода линейных колебаний тела Р бесконечно малой массы по направлению, перпендикулярному плоскости их орбиты.
