Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маркеев А.П. -> "Точки либраций в небесной механике и космодинамике " -> 52

Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.

Маркеев А.П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике — М.: Наука, 1978. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): tochkiliberaciyvnebesnoy1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 106 >> Следующая

” ** . " **: . с/ " ** .
Ч\Р\ + q2Pi + S(qj, pj , v),
где
С V "Vl "V«
*J — 2j ЯлгЦіиі?! Чї Pi Pi t
Vx+V,+H,+H2=2
причем коэффициенты .sVlV41lM, надо выбрать 2л -периодическими по v. Связь переменных qj, pj и q**, р*? получается из соотношений
И | OS I dS /л I nt
Qj =4j + -гтгт. Pj = Pj + -7-ґ- , (2.12)
dPj dq-
имеет место тождество
тш**1 " . dS **\ тт" I - ** dS \ bs
[qj+—**,Pi j — Ht\qvPj += (2-13)
Приравнивая одинаковые одночлены в обеих частях этого тождества, получим систему десяти дифференциальных уравнений для нахождения Правые части этой системы квадратичным образом зависят от и содержат неопределенные еще
величины Хг, Я2. Последние находятся из условий периодичности функций SV1VJM1,.
Правые части системы дифференциальных уравнений при достаточно малых е будут аналитическими функциями е, если рассматривать значения ц из интервала (2.3), исключая граничную точку области параметрического резонанса ц0 = 0,028595. Действительно, легко проверить, что при этих значениях |Л
I it I ,
где N = 0, 1, 2, 3, . . .; п — 1, 2; m = 1, 2. Поэтому (см. § 6 второй главы) характеристические показатели будут аналитическими функциями е. Учитывая еще очевидную аналитичность Н%
§ 21 ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 153
по е, получаем, что и функции sVlv,nin« будут аналитическими по е.
Функции sVlv,n*u и величины Я,х, Я,2 будем искать в виде рядов
= eSViVjMiHi + + • • • 1 (2-14)
Я,і = g>i -\- -f- -f- . . . , X2 = — ft>2 -f- ~Ь ... (2.15)
Подставив ряды (2.14) и (2.15) в тождество (2.13) и произведя разложение по степеням е, получим систему дифференциальных уравнений для 4^гц,мг- Ограничимся нахождением нормализующего преобразования с точностью до первой степени эксцентриситета. Получаем систему уравнений
d (1) dsW
—2і cos v аі'ою + іХі \ = — 2і сов v а'ш1 + іЯ.^, (2.16^
и для остальных восьми функций 4л,ц,цг -\- і f(vj ¦— Ці) СЙ! — (V2 Ц2) ©г] sViV2H(|1j = 2 І COS V
(2.17>
Из условий периодичности функций 4oio И s0101 получаем W = = я4х) = 0. Периодические решения системы (2.16) — (2.17) по~ лучаются следующими:
S
(1)__________^aViVtHiHi
г;----r{sinV +
— IX.,) (0,12 — 1 1
ViVap 1Д2 |(Vl _ Jl,) Ші _ (v2 — |X2) C02]
+ І [(Vi — Ці) Wi — (v2 — ц2) «2] COS v). (2.18>
Следует отметить, ЧТО функции SvajHiH2 содержат только первые гармоники v. Можно показать, рассматривая следующие приближения по е, что N-я гармоника появляется в функциях с коэффициентом, пропорциональным эксцентриситету в степени, не мейыпей N.
Теперь по комплекснозначной функции S найдем вещественное преобразование qj, р; —> q*, р* функции (2.6) к нормальной форме (2.1). Пусть она задается производящей функцией
ЧіРі + ЧгР* + К (q h р*, v).
Так как функция К имеет порядок е, то из формул преобразо-вания
* ~ , ЭК ~_____* . дК
154 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 9
с точностью до первой степени эксцентриситета получаем
* дК* ~ * . дК* m
Чі — Qj я * ’ Pi Pi я * ’ (2.19)
°Pj oq¦
где К* = K.W (qf, pf, v), a K.W — коэффициент при первой степени е в разложении функции К по степеням эксцентриситета.
Выразим К* через Из формул (2.12) с точностью до первой степени эксцентриситета находим
* ** dS** " ** dS** /0 оп.
Qj 9j ¦ я ** > Pj Pj + "т~• (2.20)
др. dq.
Здесь S** = (qf*, pf*, v). Далее, учитывая связь комплекс
пых канонических переменных с вещественными
Qj ~ Pj 4" iQj, Pj = Pi — Щіі
** * , . * * . *
Qj — Pj + iQj і Pj — Pj iQj
и обозначая через W (qf, pf, v) функцию .S’W (pf + Щ * pf — Щ -*v), находим из формул (2.20)
* 1 dW _ * і 1 ,0 0..
qi = qi-^Tpf* Vi = Pi +~2T^f' (2-21)
I
Сопоставляя формулы (2.19) и (2.21), получаем К* —
Функция
К* = S кхтдГдГ'рГ'рГ'
Vi+Vj+Ці+М s=2
будет вещественной. При помощи формул (2.7), (2.10), (2.18) для ее коэффициентов получаем такие выражения:
&2ооо = Yi“i [(16toJ — 12coJ — 88©J + 9) sin v — 16Л©? cos vj, 7tq2qq = —y20)2 [(16o)J — 12©? — 88©? + 9) sin v — 16Л©| cos v], ¦&0020 = 27x0)! [(8coJ — 2©J — 45a+ 18) sin v + 8Л©? cos v],
^0002 = —2уг©2 [(8o>* — 2©J — 45©* + 18) sin v + 8Л©* cos v], Лцоо = 2p (9 sin v + 2k cos v),
Л1в10 = 2^©* [8Л sin v — (8©f — 2©J + 27) cos v], (2.22)
^1001 = —2р©г[2А sin v + (4©? — 9) cos v],
Л0цо = 2р©х[2Л sin v + (4©| — 9) cos v],
Л0юі = 2у3©2 [8Л sin v — (8©J — 2©2 + 27) cos v],
*0011 = 80©!©,! (sin V — Л cos v).
Здесь введено обозначение yj = [2(2©| — l)(4©j — 1)(4©| + 9)]-1.
РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ
15S
Таким образом, преобразование функции Гамильтона к нормальной форме с точностью до первой степени эксцентриситета найдено. Оно получается из трех цребразований: по формулам
(4.2) главы 7, по формулам (2.5) и, наконец, по формулам (2.19). Коэффициенты функции К задаются формулами (2.22).
§ 3. Резонансные кривые
Для дальнейшего исследования надо привести к нормальной форме члены третьего и четвертого порядков в разложении функции Гамильтона. Нормальная форма будет различной в зависимости от того, будут параметры ji, е резонансными или нет. Оказывается, что в плоскости (а, е внутри области устойчивости линеаризованной задачи есть кривые, на которых выполняются резонансные соотношения третьего и четвертого порядков. Эти кривые при е = 0 исходят из точек ОСИ 0\l, выписанных во второй строке табл. 2 и 3. На рис. 14 внутри области устойчивости
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 106 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed