Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
В случае резонансов ЗЯ2 = —1 и 2A,j + Я2 = 1 нормализованная функция Гамильтона имеет соответственно такой вид:
Н = Х1р1 + Я2р2 + ер/й/м sin (30а + v) + g0,3cos (30а + v)] +
+ О ((pj+ р2)2),
(4.5)
Н = AjPj + я2р2 + epiJ/ ра[/2,1 sin (201 + 02 — v) +
+ ft, 1 cos (201 + 02 — v)] + О ((Pi + р2)2).
Значения коэффициентов на соответствующих резонансных кривых таковы:
/о,з — 2,521 + О (е), g0tj = 0,780 + О (е),
/2)і = -6,939 + О (е), ft,і = 2,372 + О (е).
РЕЗОНАНСЫ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
159
Делая замену переменных, аналогичную (4.Я), получим функции Гамильтона (4.5) в виде, аналогичном (4.4). При этом коэффициент o*,.k,= Yf'lukt + glt kt при малых е не будет равен нулю. Следовательно, на резонансных кривых ЗЛ2 = —1 и 2'к1 + к2 = 1 при достаточно малых е лагранжевы решения неустойчивы.
§ 5. Об устойчивости при резонансах четвертого порядка
В этом параграфе исследуется устойчивость лагранжевых решений при резонансах четвертого порядка. Резонансы — ЗЯ,2 = 2 и ЗА,! — Х2 = 3 при малых значениях е не могут привести к неустойчивости при учете в нормальной форме функции Гамильтона членов не выше четвертого порядка относительно координат и импульсов [157].
Рассмотрим резонанс А,! + ЗЯ2 = 0, обнаруживающийся уже в круговой задаче. На резонансной кривой + ЗЯ,2 = 0 нормализованная функция Гамильтона получается такой:
Н — ^"іРі “Ь А,2р2 с20р1 С11Р1Р2 -Ь с®2р2
— Ра V PiPa f/i,3 sin (е1 + 30a) + gi,3 C<>S (©і + 302)] +
+ О ((Pl + p2)V«),
где коэффициенты с точностью до величин порядка е2 имеют следующие числовые значения:
с2о = 0,138, си =—2,177, с02 = 0,247,
/lf3 = 1,461, gl, з = 4,235.
Делая замену переменных
Pi = Ri, 0! = V + г|>1 + Y, 0г = + Ц>2,
где у = —arcsin ?i,3/(g?,3 + /ї,з)1/і, получаем функцию Гамильтона в виде
Н = ct0R\ + c11R1R2 + c0iR\ + blsR2 VRJl2 sin (г^ + 3ip2) +
+ О {{R1 + i?2)V>).
Для этой функции
3]/T| 61>3 I = 23,283 + О (e2),
|'сго + 3cn + 9c02 I = 4,171 + О (e2).
Поэтому при достаточно малых е условие неустойчивости (см. § 5 главы 5) выполняется и справедливо следующее утверждение: при значениях ц, е, принадлежащих резонансной кривой А,! -f-+ ЗЯ,2 = 0, для достаточно малых е лагранжево решение неустойчиво.
160
УСТОЙЧИВОСТЬ в ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 9
Теперь проверим выполнимость условий неустойчивости ДЛЯ остальных резонансных кривых четвертого порядка. Значения величины ci0k\ + + Со2^2 с точностью до величин порядка
е2 представлены в табл. 4.
Таблица4
Резонанс 4Xi= 3 2(X,+X,)=1 3X.1 + X2 = 2 Xi+ 3X,= — 1 4Xj= - 1
c2o^j + CllAA + 465,621 —71,366 82,782 202,874 7,517
Замечая, что при е — 0 коэффициент при тригонометрическом члене нормальной формы для этих резонансов обращается в нуль, получаем, что при достаточно малых значениях е имеет место устойчивость в рассматриваемом нелинейном приближении (при учете членов четвертого порядка в разложении функции Гамильтона).
§ 6. Исследование устойчивости
при нерезонансных значениях параметров
Теперь рассмотрим устойчивость для значений параметров е и ц, лежащих в области устойчивости в первом приближении, но не принадлежащих резонансным кривым третьего и четвертого порядков. При таких значениях параметров функция Гамильтона возмущенного движения при помощи преобразования Биркгофа может быть приведена к форме
Я = Vi + Va + C20r\ + Cj^rjj + с02г% + О ((гх + г2)Ч‘), (6.1)
где С ТОЧНОСТЬЮ до членов порядка е1 коэффициенты Ctj вычисляются по формулам (4.6) седьмой главы, а = а>х, Я2 = —а>2.
Исследование устойчивости точек либрации при нерезонансных значениях параметров е и fi мы начнем с доказательства следующего утверждения.
Теорема. В области устойчивости в первом приближении при ц, принадлежащем области (2.3) устойчивости в круговой задаче, и при значениях (х и е, не принадлежащих резонансным кривым третьего и четвертого порядков, треугольные точки либрации в плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел устойчивы для большинства начальных условий, если эксцентриситет достаточно мол.
Для доказательства достаточно проверить выполнимость неравенства Сп — 4с20с02 Ф 0 (см. § 1 главы 5) при е = 0. Пусть, как и в главе 8, и — а>ї2а>22. Тогда в области (2.3) и^> 4. Использовав'
НЕРЕЗОНАНСНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
161
явные выражения коэффициентов Сц через <д>х, со2, получим
С11 — 4с20С02 = 5184 (4 — и)2 (25 — 4и)2 ' (6’2)
где через g (и) обозначен многочлен третьей степени
g (и) = 107172а3 + 3298947и2 - 8799272и - 384400. Значения многочлена g (и) и его производных при и = 4 таковы: g = 24060672, g1 = 22736560, gu = 9170022, g111 = 643032.
Так как все эти значения положительны, то многочлен g (и) при и 4 положителен и, следовательно, cxl — 4с20с02 ф 0 при всех нерезонансных |х из области (2.3). Тем самым теорема об устойчивости для большинства начальных условий доказана.
Теперь, используя результаты теории многомерных гамильтоновых систем, изложенные в пятой главе, проведем еще анализ с точки зрения формальной устойчивости. Если в системе нет резонансов до четвертого порядка включительно, то функция Гамильтона, нормализованная до членов четвертой степени относительно qi, pi включительно, будет иметь вид (6.1) и знакоопределен* ность квадратичной формы с20г* + СцГ^ + с02г2 в квадранте гх > 0, г2 0 является достаточным условием формальной устойчивости [138]. Сначала рассмотрим случай отсутствия резонансов до четвертого порядка включительно.
