Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6. Неустойчивость точек либрации при малых {і и е
Из (5.1) видно, что величина с002 (ц) обращается в нуль при ц= 0. Поэтому при малых е и ц возможно появление областей неустойчивости. Но тут уже качественных оценок, использующих малость эксцентриситета, недостаточно для исследования. Для того, чтобы неустойчивость могла быть обнаружена, следует получать числовые значения коэффициентов функции F3 (яр) или хотя бы исследовать их поведение при малых е и ц. Результаты такого исследования приводятся ниже. Оказывается, что при достаточно малых е и [і действительно существует область неустойчивости. Ниже будет получено приближенное уравнение границы этой области в плоскости е, ц.
Если учитывать степени эксцентриситета не выше второй, то коэффициенты К3 и Ь3 равны нулю и функция Fs (яр) может быть записана в виде
F, (яр) = Cq02 + е2» + е2 (б sin 2яр + у cos 2яр), (6.1)
где а, 8, у — некоторые функции р,, а с002 имеет вид (5.1).
Функция (6.1) при выполнении неравенства
1 С002 + Ах I < е2 YW+f (6.2)
может обратиться в нуль, если, например,
яр = яр* = ~ arctg —-------arccos с°°2 e--r- -j- -2-.
2 у 2 ег у ^ 1 2
При этом Fs (яр*) < 0. Таким образом, если е — достаточно малая величина, то неравенство (6.2) есть условие неустойчивости лагранжевых решений.
Было исследовано поведение функций, стоящих в обеих частях неравенства (6.2) при ц, стремящемся к нулю. При этом, если для
182
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 10
е002 это можно сделать, используя формулу (5.1), то для функций а и + Vа исследование очень громоздко и оно проводилось на вычислительной машине. Оказалось, что имеют место равенства
Соог = -0,1875*1 + ег (ц), а = —0,0781ц + е2 (ц,),
/6а + Vа = 0,12-10-’ + е3 (ц),
где (jj.) — бесконечно малые величины при jj,, стремящемся
к нулю, причем порядок малости ех и е2 вьппе первого.
Из неравенства (6.2) получаем теперь такое условие неустойчивости при достаточно малых е и ц,:
еа > 15625000ц. (6.3)
Полученная в плоскости е, ц область неустойчивости лагранжевых решений является очень узкой. При малых е и ц одной из ее границ является ось Ое, а другой — кривая, мало отличающаяся от параболы е = 3953 YИ"
Отметим в заключение, что обнаруженная неустойчивость лагранжевых решений является следствием резонанса, связанного с тем, что частота вращения тел S и / равна частоте колебаний тела Р по направлению, перпендикулярному плоскости их вращения. Этот резонансный эффект проявляется только в эллиптической пространственной задаче. В случае круговой пространственной задачи этот резонанс к неустойчивости не приводит.
§ 7. Результаты численного исследования
при произвольных е и ц. Устойчивость лагранжевых
решений в системе Солнце—Юпитер
В этом параграфе кратко опишем численное исследование треугольных точек либрации в системе Солнце—Юпитер, а также результаты численного исследования при произвольных е и ц. Исследование было приведено на ЭВМ с применением метода точечных отображений (см. главу 6).
Итак, пусть параметры е и ц, соответствуют системе Солнце — Юпитер: е = 0,04825382, jx = 0,00095388. Сначала нужно найти линейное нормализующее пребразование. Алгоритм его получения изложен в § 5 главы 2. Линейная нормализация части гамильтониана, соответствующей пространственным переменным <7з, Рз, не требуется, так как пространственная часть гамильтониана Н2 уже с самого начала имеет нормальную форму. Займемся поэтому нормализацией части гамильтониана плоского движения.
Расчеты показывают, что фундаментальная матрица решений X (v) соответствующей системы дифференциальных уравнений при
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
183
2я будет такой:
10,246067
X (2л)
(7.1)
15,765014 —16,830551 9,400540
-5,435207 —8,372406 9,934193 —5,646301
5,056440 8,591016 —8,181647 5,105433
8,833277 15,135589 —16,094789 10,055308
Величины и к2 вычисляем по формулам (7.6) предыдущей главы. Получаем
А* = 0,996758, к2 = — 0,080802.
Теперь надо найти какое-либо решение системы уравнений (5.10) второй главы. Положим для определенности четвертые компоненты векторов efe вещественными и равными единице. Тогда действительные и мнимые части собственных векторов получаются такими:
1,256976 1,389429 1,052220 —0,042113
—1,371205 0,273188 —0,607786 —0,040441
Гі = —0,036985 , sx = 1,020730 , г2 = 0,576385 , sa = -^0,030937
1 0 1 0
Для скалярных произведений (rt, I sk) получаем такие числовые значения:
(гь IBl) = 1,061233, (г2, Is2) = 0,032162.
Далее, из уравнений (5.9) главы12 находим элементы матрицы D dlx = 0,485361,
Теперь = X(v)
уже можно выписать
• P Q (v), где
d„ = 2,788069. нормализующую матрицу N
Р =
—1,348748
—0,265189
—0,990844
0
0,234825
0,225503
0,172509
0
1,220173
—1,331058
—0,035902
0,970721
5,867325
-3,389100
3,214000
5,576138
(7.2)
Q(v) =
cos A,jV 0 — sin ).jV 0
0 cos }.2v 0 — sin X2v
sin 0 cos 0
0 sin >..jV 0 cos >.2v
Для получения матрицы N при каком-либо значении v нужно на ЭВМ интегрировать систему линейных дифференциальных уравнений шестнадцатого порядка.
Применив далее алгоритм, изложенный в главе 6, получим производящую функцию точечного отображения в окрестности точки либрации
