Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, пусть ц Ф |л<9>, где — резонансные значения параметра ц, приведенные в табл. 2 и 3, а эксцентриситет е — малая величина. Знакоопределенность квадратичной формы c20rj + + c11r1r2 + с02г2 при е = 0 будет достаточным условием формальной устойчивости при 0 1.
Так как при е — 0 для нерезонансных значений ц (|х Ф ілХ) [д, Ф |а2) из области (2.3) величина Сц — 4с20с02 положительна, то условие знакоопределенности рассматриваемой квадратичной формы означает, очевидно, одинаковость знаков коэффициентов сц нормальной формы (6,1) при е = 0. Все коэффициенты сі} имеют одинаковый знак (именно, положительны) в следующем интервале изменения (і (см. формулы (4.6) седьмой главы, а также рис. 6):
0,02429438 . . . = ц, < ц < ц* = 0,0385208 . . . (6.3)
Таким образом, мы показали, что в области устойчивость в первом приближении при ц, лежащем в интервале (6.ЗУ, и пни значениях ц, е, не принадлежащих резонансным кпивым третьего и четвертого порядков, треугольные точки: лиоюациИ формально устойчивы, если эксцентриситет достаточно мал;
. Если мы рассмотрим члены выше, четвертого порядка в разложении функции Гамильтона в ряд относительно координат и
6 А. п. Маркеев
162 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 9
импульсов возмущенного движения,то можно показать формальную устойчивость для почти всех значений параметра ц из оставшегося интервала 0 < ц <; ц1. Пусть ц лежит в этом интервале и при е = 0 не выполнены резонансные соотношения до шестого порядка включительно (соответствующие резонансные значения параметра приведены в табл. 5 и 6).
Таблица 5
Резо- нанс — 1 Xi-(- 4Хг— 0 Xl Ь%2== 2 +3?«.=1 II 1 CO ЗЛ.1+ +2^=2 5^2= — 2 6X2= — 1 О <«І 1Л +
ц<°> 0,0057 0,0083 0,0093 0,0124 0,0190 0,0190 0,0203 0,0040 0,0055
Таблица 6
Резо- нанс Xl —5X2=2 2<M-+2X2)—1 2(M-— 2U)=3 3 + M = 2 2 (2Яц+ -f- ^,2) — 3 1 t'i + 5>.i— — 5 — 5X2= 3 3(?ч— -M = 4
0,0059 0,0078 0,0100 0,0115 0,0173 0,0190 0,0190 0,0218 0,0229
Тогда нормализованная до членов шестого порядка включительно функция Гамильтона имеет вид
Я = Vi + КГ2 + С20Г1 + СцГ1Г2 + С02Г2 + С30Г1 + С21Г1Г2 +
+ СцгА + c03rl + О ((гх + г2)’/«). (6.4)
Если при Гі > 0, г2 > 9 и е = 0 система уравнений
С20Г1 + С11Г 1г 2 + С02Г2 = 0)
(6.5)
Cjorl + Ctirlri + ^12^1^2 + С03Г2 = 0
не имеет решений, кроме тривиального = г2 = 0, то для достаточно малых е, совершенно аналогично тому, как это сделано в § 3 предыдущей главы, можно доказать формальную устойчивость точек либрации для всех рассматриваемых сейчас параметров, за исключением, быть может, точек (е, ц), соответствующих двукратному ревонансу + к'гХ2 = N', + к"2Х2 = N’t (| к[ | +
+ I К I > 7, | кг | + | &21 > 7).
В рассматриваемом сейчас интервале (6.3) изменения параметра ц ненулевые решения первого уравнения системы (6.5) можно записать в таком виде:
Гі = а^ц )r2, rt = a2(fi)r2. (6.6)
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
163
Расчеты показывают, что 0 во всем интервале (6.3), а
а2 — только в части этого интервала при 0 < fi <С ц** = 0,01574 ... Таким образом, в интервале 0 •< (J. <С fi** первое уравнение системы (6.5) имеет две серии нетривиальных решений гх = ак (fi)ra (к =1, 2), а в интервале ц** <ц — одну серию решений
Гі = а^ц) r2.
Чтобы выяснить вопрос о совместности системы (6.5), подставим решения первого уравнения гх = а^г2 во второе уравнение. Тогда получим второе уравнение в виде GH ((J.)rf’f = 0. Если Єн(іі)ф0 (к — 1, 2), то система уравнений (6.5) имеет только тривиальное решение. Расчеты показали, что функция G] = 0 при (і = ц/ = = 0,00861... и (д. = (і" = 0,01656..., а б?2 обращается в нуль только при одном значении fi = ц'" = 0,00509...
Таким образом, результаты аналитического исследования формальной устойчивости при нерезонансных значениях параметров е и fi можно сформулировать в виде такого утверждения.
Теорема. Если эксцентриситет достаточно мал, то в области устойчивости в первом приближении при значениях ц, не равных резонансным значениям fi(0), приведенным в таблицах 2, 3, 5, 6, и при fi, не равных fi', |.Г, ц'", а также, быть может, значениям fi из интервала (0, (я3), соответствующим двукратному резонансу выше шестого порядка, точки либрации формально устойчивы.
§ 7. Численное исследование при произвольных е и jli
Если значения эксцентриситета не малы, то исследование устойчивости необходимо проводить при помощи вычислений с использованием ЭВМ. При этом для фиксированных е и fi надо сначала при помощи ЭВМ найти линейное нормализующее преобразование, а затем произвести нормализацию нелинейной гамильтоновой системы. Соответствующие алгоритмы нормализации изложены во второй и четвертой главах. Там же получены нужные нам здесь критерии устойчивости и неустойчивости.
Характеристическое уравнение линейной системы является возвратным. Запишем его в виде
р4 — ^р3 + а2р2 — ЯдР -Н 1 — 0. (7.1)
Коэффициент ах равен следу фундаментальной матрицы линейной системы, вычисленной при v = 2я, а% — сумма всех ее главных миноров второго порядка.
В плоскости коэффициентов ах, а2 область устойчивости линейной системы задается системой неравенств [48]
