Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
s И, фг) = S2 + S3 + Si + . . ., (7.3)
184
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. 10
где
s2 = г{0) (фх — + ^0) (ф2 — 2яЯ2) + г<0) (ф3 — 2я), (7.4)
S3 = rj Vr\ (0,036399 sin фх + 0,01804 cos фх — 0,00846 sin Зфх +
+ 0,102115 cos Зфх) +
-\-r\Yrl [8,405704]sinф2+2,566987 cos ф2-1-І,668032 sin (2фх+ф2) + + 7,148056 cos (2фх + ф2) —
—_4,391994 sin (2ф! — ф2) — 5,111227 cos (2фх — ф2)] + H-rj/rfll, 598739, sin Фі+1,071356 cos ф1+22,212749зіп(ф1+2ф2) + + 36,913857 cos (фх + 2ф2) — 45,757428 sin (фі — 2ф2) —
— 3,059325 cos (ф! — 2ф2)] + r2 Y~t(98,462795 sin ф2 +
+ 27,099158 cos ф2 + 70,044213 sin Зф2 + 62,756218 cos Зф2) + + г“ Уг\ [0,036203 sin ф! + 0,022801 cos фх —
— 0,006181 sin (фх + 2ф3) — 0,00381 cos (фх + 2ф3) +
+ 0,019144 sin (фх — 2ф3) + 0,011722 • cos (фх — 2ф3)] +
+ гз ^Г2 [4,566664 sin ф3 + 1,085301 ¦ cos ф3 +
+ 0,137253 sin (ф2 + 2ф3) + 0,032885 cos (ф2 + 2ф3) —
— 0,022454 sin (ф2 - 2Фз) - 0,004787 cos (ф2 — 2Фз)]. (7.5)
В выражении для St выпишем только те одночлены, которые необходимы для получения нормальной формы функции Гамильтона
?4 = 85,43976гГ + 5293,02 rjrj + 25475,856rf +
+ /ЭД (39,69968 + 0,09557 sin 2ф3 + 0,967033 cos 2ф3 +
+ 0,000163 sin 4ф3 + 0,0000005 cos 4ф3) +
+ (929,176— 3,333 sin 2ф3 + 25,54123 cos 2ф3 +
+ 0,00324 sin 4ф3 + 0,00008 cos 4ф3) +
+ rjj* (10,65544 + 0,00087 sin 2ф3 + 0,5505 cos 2ф^+
+ 0,00009 sin 4фз — 0,00712 cos 4ф3). (7.6) Теперь,согласно алгоритму главы 6,проведем нормализацию полученного отображения и по его нормальной форме найдем нормальную форму соответствующей функции Гамильтона. Она имеет вид (3.4). Коэффициенты А, В и С с точностью до четырех знаков таковы:
А = 0,0057, В = - 0,1483, С = 0,6159.
Для этих значений коэффициентов
#2 _ 4ЛС = 0)0079 ф о.
Таким образом (см. главу 5), в плоской задаче имеет место устойчивость треугольных точек либрации для большинства начальных условий.
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
185
Коэффициенты функций Fi с точностью до пяти знаков будут такими:
D, =0,00580, Ei = 0,00001, Gx = 0,00001, Кх = 0, Lx = 0,
D2 = 0,05509, Е2 = -0,00038, G2 = —0,00029, К2 = 0, L2 = 0,
D3 =-0,00017, Еэ = 0, G3 = 0, = 0, L3 = 0.
Функция Fз (г|?) при всех г|з, очевидно, отрицательна. Поэтому
(см. § 4) в пространственной задаче треугольные точки либрации устойчивы при учете в нормальной форме функции Гамильтона членов до четвертого порядка включительно по координатам и импульсам возмущенного движения.
Были проведены также численные расчеты с очень частой сеткой в плоскости е ж ц для произвольных значений параметров. Неустойчивость точек либрации пространственной эллиптической задачи обнаружена не была. Но при расчетах, из-за резкого возрастания времени интегрирования, нельзя подойти произвольно близко к оси [і = Ои к резонансным кривым второго (граница области устойчивости линейной задачи) и третьего порядков. По-ви-димому, области неустойчивости, если и существуют, то их границы проходят очень близко к этим резонансным кривым. Отметим еще раз, что существование очень узкой области неустойчивости при малых ц и е в этой главе мы показали аналитическими методами.
ГЛАВА 11
ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ—ХОРИ В ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
§ 1. Введение
Многие задачи небесной механики описываются каноническими дифференциальными уравнениями, задаваемыми функцией Гамильтона Я, содержащей малый параметр е:
Я = Я (х, X, І; в), (1.1)
где хт = (хи . . ., хп), Хт = (Х1; . . ., Хп) — векторы координат и импульсов соответствующей механической задачи.
Пусть параметр е входит в гамильтониан Я аналитически. Если при е = 0 рассматриваемая каноническая система интегрируема, то для качественного и количественного изучения движения при | 81 1 часто ищут каноническую замену переменных х, X —>-
у, Y, близкую к тождественной и приводящую функцию Гамильтона (1.1) к такой форме, которая позволила бы достаточно просто провести исследование тех или иных свойств движения в изучаемой механической задаче. В качестве примера можно привести неоднократно встречавшиеся в предыдущих главах преобразования, исключающие из функции Гамильтона нерезонансные члены.
Если исходная функция Гамильтона не содержит время t, то при традиционном подходе преобразование х, X у, Y может быть найдено при помощи метода Цейпеля [9]. Преобразование х, X —*¦ у, Y задается при этом при помощи производящей функции S, зависящей от смешанных (новых и старых) переменных:
S = S (у, X; в), S (у, X; 0) = (у, X)* (1.2)
Через (у, X) в (1.2) обозначено скалярное произведение векторов у и X. Преобразование х, X —у, Y задается неявно при помощи соотношений
Х = -Ц-’ (1-3>
(1-4)
Отметим, что рассмотренное в главе 3 преобразование Биркгофа во многих отношениях аналогично преобразованию метода Цейпеля.
ВВЕДЕНИЕ
187
Можно отметить следующие существенные недостатки теории возмущений, основанной на применении метода Цейпеля. Во-первых, нахождение преобразования х, X -»- у, Y требует очень громоздких вычислений. В самом деле, для выражения переменных х, X через у, Y надо сначала обратить нелинейное уравнение
