Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Упомянутый резонанс является резонансом первого порядка и в случае общей динамической системы он должен был бы привести к неустойчивости, которая была бы обнаружена уже при анализе линейной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения. Но в нашей конкретной задаче в линейном приближении этот резонанс не приводит к неустойчивости. Это происходит потому, что в линейной задаче плоские и пространственные колебания разделяются, а пространственное движение описывается при помощи функции Гамильтона
^ = 2,(Яз + Рз)*
не содержащей возмущающих членов (имеющих частоту кеплеровского движения), которые могли бы привести к неустойчивости. В нелинейной задаче тождественный резонанс может привести к неустойчивости, но эффект неустойчивости проявляется только при учете в функции Гамильтона членов не ниже четвертого порядка по qi, pt и при учете в разложениях коэффициентов функции Гамильтона степеней эксцентриситета не ниже второй. Поэтому анализ устойчивости очень громоздок и труден. Ниже он проводится для случая малых значений е.
174
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. 10
§ 2. Алгоритм линейной нормализации с точностью до второй степени эксцентриситета
Найдем линейное каноническое 2я-периодическое преобразование, нормализующее квадратичную часть гамильтониана возмущенного движения (см. разложение (3.1) в главе 7). С точностью до первой степени эксцентриситета такое преобразование найдено в § 2 предыдущей главы. Там же (в § 3) были найдены (с точностью до членов порядка е2) выражения для величин и к2 в нормальной форме квадратичной части гамильтониана
з
H^^rYjK{qt+pl)- {2Л)
i = l
(Отметим, что в рассматриваемой пространственной задаче вели-чина Я,3 = 1). Теперь покажем, как найти нормализующее пре образование с точностью до членов порядка е2.
Сначала сделаем преобразование qt, Pi~+- qi, Pi по формулам
(4.2) седьмой главы, а затем — преобразование qu pi —> qit pt по формулам (2.5) девятой главы. После этих двух преобразований квадратичная часть функции Гамильтона запишется в виде
На (Яи Pi, v) = На ~\—2~(Яз Рз),
где й2 вычисляется по формуле (2.6) предыдущей главы. Так как часть гамильтониана Нг, соответствующая пространственным движениям, уже имеет нормальную форму, то в дальнейшем проведем нормализацию только функции й2.
Чтобы не вводить дополнительных обозначений, переменные, которые будут введены нормализующим преобразованием, обозначим, как и исходные переменные, через qt, pt. Пусть S — производящая функция преобразования qt, pi —>- qt, р^.
S = ЯіРі + ЯгРъ + S •'¦'(Сіі.-гц.мг (у) Я і 'ЯгРі'Р?*- (2-2)
frj-J-7C2-J-Hi-J-H2=2
Функцию 1S ищем 2л-периодической ПО V. Коэффициенты Sftjim^v) и величины к( представим в виде рядов
S№|.IiH2 = e^ItiIt!.UiHj(V) + КЛ2И1Ц2 (V) • ¦ • , (2-3)
Я<1 = сої + ек^ -(- ё*к^ + . . . ,
к2 = — оз2 Ч- . . . (2.4)
Величины (v) найдены в предыдущей главе. Они вычисля-
ются по формулам (2.22). Величины к\п) находятся из условий периодичности функций S(t,/«n,n2(v)- В предыдущей главе найдено, что
АЛГОРИТМ ЛИНЕЙНОЙ НОРМАЛИЗАЦИИ
175
= A4x) = 0, а А,|2) вычисляются по формулам (3.2). Кратко опщаем теперь, как найти функции (v). Подставив в
тождество
dS \ „ и dS \ , dS
н.
dqK >'
рЛ = Й2[Чі
дд. ’
dv
разложения (2.3), (2.4) и приравняв в его обеих частях члены при второй степени е, получим ДЛЯ функций IkikWt систему десяти линейных неоднородных дифференциальных уравнений, распадающуюся на три системы: две третьего и одну четвертого порядков.
Если величины A,j2) и вычисляются по формулам (3.2) девятой главы, то эти системы имеют я-периодическое решение.
После того как найдены функции 4,^*»» (v)» получим выражение переменных !ji, Pi через <7;, Pi. С точностью до членов порядка е2 связь новых и старых переменных задается при помощи следующих формул:
= (E + eN(1) + e2N(2))
(2.5)
где элементы матриц NW получаются такими:
niV =
«и = «ЗІ
Па
v101(h ^1001» 2*2000?
*,
*-1100» ^1010
nW ь
'пг — — ^оно?
»(1) — — к «22 — — и-оіоі»
„(1) _ 7.
“32 — ^1100?
„(і) _ о к
Пло ----- «П-ЛОЛА,
„(у = _2 к
п\
¦4з = — * .(1)
*33
*42
— ^min + ^1010 ^
0020’ 0011» 010>
1001*0110»
ОНО!
и(2) — 12 — + *
—к
ООН)
1010л0110
п(1) —
«14 —
n(D ______ ____ОЬ
«24 — ---------^Л-ОС
„(і) _ Ь «34 — «-Ю0ІІ
„(1) — 1.
•ЬА± ----- "'ЛІПІї
^оно “Ь + *
0110*0101»
П13^ — —2Z 0020 “Ь 2^0020*1010 “Ь *0110*0011»
^1001 + *1010*1001
+ *
0101*1001»
„(2) __ 7 __L_
'hi — 1ооіі >
+ *1010*0011 + 2*0110*0002» (2) _ 7
+
Ті.
— ^ооіі + 2 к
0020*1001 + *0101*0011»
«31
(2) _ 07 оі — AL
2000
2 к.
2000*1010 *1100*1001»
ь0101
--„1*
n2i = 2^0002 “Ь
“Ь *1001*0011 “Ь 2* и(2) - Z —
«32 --- М1ПП ----
+ *1001*0110 + *0101»
0002*0101»
176
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 10
= ^1100 -- 2/с0200А;1001 ^ІКнЛіОІО) П42 = 210200 —
2/с0200А;0101 — ^ноо^-оно»
и4з ~ ^оно — 2/с02оо^оои ¦ 2/с0020А:1100, пи = Z0101 —
^огоо^-ооог /-шхЛооп-
Таким образом, линейное нормализующее преобразование с точностью до членов порядка е2 найдено.
§ 3. Нормальная форма функции Гамильтона
