Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 16 и 17 изображены все резонансные кривые третьего и четвертого порядков. На всех кривых, кроме Хх + 2А,2 = 0 и
4" У я2 — 8
при любых значениях [і,
4
-z— arccos 2л
1
аг — У а* — 4(^ + 8
4
4.1 а1
1 + arccos — 1 2я
я2 — 4а2 -}- 8
при ц. > ц.0-
4
(7.6)
§ 7] ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 167
Таблица 7
Резонанс Интервалы неустойчивости Интервалы устойчивости в 4-м приближении
4А*=-1 А,! -f- ЗА^ — 0 2 (Ai -j~ Х-2) = 1 ЗХ,! + ^2 = 2 Х1 ЗА-2 — 1 4А1 = 3 0,022 < е <0,611 0< е < 0,141 0,026 < е< 0,45 0,196 < е < 0,207 0 < е< 0,022; 0,611 < е < 0,8 0,141 <е< 0,8 0<е< 0,026 0< е< 0,065 0<е< 0,196; 0,207 < в <0,24 0< е<0,19
А,х +-ЗХ-2 = 0, при е = 0 имеет место устойчивость по Ляпунову (см. главу 7). На резонансных кривых А,г — ЗА,2 = 2, ЗА,Х — А2 = 3, Ах — 2А2 = 2, изображенных на рисунках штрих-пунктирными
Рис. 16. Интервалы устойчивости и неустойчивости на резонансных кривых.
линиями, имеет место формальная устойчивость (при отсутствии других резонансных соотношений любого порядка). На резо-нансвых кривых ЗА,2 = —1, А,х + 2А,2 = 0, 2Аг + А2 = 1, За2 = —2 третьего порядка при е Ф 0 имеет место неустойчивость по Ляпунову. На рис. 16 и 17 эти кривые изображены пунктирными линиями. На резонансных кривых 4А,2 = —1, А* + 3AS = О, 2(Аг + А2) = 1, ЗА,г + А2 = 2, Аг + ЗА2 = —1 и 4АХ = 3 четвертого порядка участки неустойчивости изображены пунктирными линиями, а участки устойчивости в четвертом приближении — сплошными линиями.
168 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 9
Было проведено также численное исследование устойчивости при значениях параметров, не лежащих на кривых, где выполнены
Рис. 17. Интервалы устойчивости и неустойчивости на резонансных кривых.
резонансные соотношения третьего и четвертого порядков. При этом из-за вычислительных трудностей, проявляющихся при
больших значениях е или при малых значениях |л, а также вблизи границ областей устойчивости в линейном приблиймвии, мы ограничились значениями параметров е 0,6 и 0,001 <1^ < 0,042.
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
169
Были проверены условия D 5= сц — 4с20с02 Ф 0 устойчивости для большинства начальных условий, а также условие формальной УСТОЙЧИВОСТИ (знакоопределенность формы С20Гі + СцГЛ + c02rl в квадранте г1 > О, г2 >> 0). Результаты расчетов представлены нарис. 18 и 19. Устойчивость для большинства начальных условий имеет место почти всюду в области устойчивости линеаризованной задачи. Исключения составляют резонансные кривые,
Рис. 19. Области формальной устойчивости.
которые мы уже рассмотрели, и, быть может кривые D = 0, изображенные на рис. 18 и 19 пунктирными линиями. Сплошными линиями на этих рисунках изображены кривые, на которых или выполнены резонансные соотношения третьего порядка (эти кривые надписаны), или те кривые, при переходе через которые все величины Сц становятся одного знака (именно, положительными). Области формальной устойчивости на рис. 18 и 19 заштрихованы. При этом в областях, отмеченных горизонтальной штриховкой, выполнено условие D <0, а в областях, отмеченных наклонной штриховкой D > 0, но все величины Сі] положительны.
Результаты, полученные при помощи численных расчетов, совпадают с результатами, полученными выше аналитическими методами при 0 е 1.
§ 8. Обсуждение полученных результатов
Здесь кратко сформулируем и обсудим результаты аналитического и численного исследований устойчивости треугольных точек либрации, проведенных в настоящей главе.
Область устойчивости в первом приближении изображена на рис. 12. Мы провели подробное исследование устойчивости для значений параметров ей |х, лежащих внутри области устойчивости в первом приближении.
170 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. э
На рис. 14 построены кривые, соответствующие резонансам ftjAj + AjjXjj = N третьего И четвертого порядков (| I + I й:2 | = = 3 или 4). На тех резонансных кривых, для которых целые числа кг и к2 имеют разные знаки, точки либрации устойчивы при учете в разложении функции Гамильтона членов до четвертого порядка включительно относительно координат и импульсов возмущенного движения; если же на таких кривых не выполняются другие резонансные соотношения более высокого порядка (выше четвертого), то имеет место формальная устойчивость. На кривых резонансов третьего порядка с одинаковыми знаками чисел кг и к2 точки либрации оказались неустойчивыми по Ляпунову. На аналогичных кривых, соответствующих резонансам четвертого порядка, точки либрации либо неустойчивы по Ляпунову, либо устойчивы при учете в разложении гамильтониана членов до четвертого порядка включительно. Интервалы устойчивости и неустойчивости при резонансах четвертого порядка приведены в табл. 7. Устойчивость в случае кратных резонансов (соответствующих пересечению кривых резонансов третьего и четвертого порядков) не исследовалась.
Для значений параметров е и |л, при которых не выполнены резонансные соотношения третьего и четвертого порядков, показана устойчивость для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий. При этом, кроме резонансных кривых третьего и четвертого порядков, пришлось исключить из рассмотрения кривые, на которых между коэффициентами нормальной формы выполнено соотношение Сц — 4с2ос02 = 0. Эти кривые изображены на рис. 18 и 19 пунктирными линиями. Для значений параметров е и /г, при которых нет резонансов третьего и четвертого порядков, было проведено исследование формальной устойчивости. На рис. 18 и 19 области формальной устойчивости отмечены штриховкой.
