Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Некоторые замечания, касающиеся строгого решения задачи
об устойчивости лагранжевых решений, сделаны в работе автора [62]. В этой работе при помощи численных расчетов проверены результаты работы Дэнби и в плоскости ц, е внутри областей устойчивости в первом приближении найдены кривые, на которых лагранжевы решения при строгом нелинейном анализе задачи могут оказаться неустойчивыми. Ниже в этой главе излагается полное исследование устойчивости лагранжевых решений в плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел. Результаты этог© исследования опубликованы в работах [59, 62, 65, 67].
§ 2. Линейная нормализация с точностью до первой степени эксцентриситета
Функция Гамильтона, соответствующая возмущенному движению в рассматриваемой задаче, записывается в виде (3.1) (см. главу 7), где пространственные q3 и р3 надо положить тождественно равными нулю, а эксцентриситет е может изменяться в интервале (0, 1). Мы проведем аналитическое (при малых эксцентриситетах) и численное (при произвольных е и ц) исследования.
В эллиптической задаче возможно явление параметрического резонанса. При малых значениях е границы областей неустойчивости можно найти аналитически, использовав результаты §§ 6 и 7 второй главы. Параметрический резонанс обнаруживается в окрестности тех значений параметра ц, для которых величины и А-2 в нормальной форме квадратичной части функции Гамильтона
связаны при е = 0 резонансными соотношениями второго порядка
2Хх = N, 2Х2 = N, A.J + Я2 = N (N — целое число).
Очевидно (см. главу 7), что при е = 0 справедливы равенства А-1 = сОц Я,2 = —со2, где и о2 — корни уравнения
Ні — ~2“ (Зі* Pi) —2~ -^2)
(2.1)
0)4 со2 + — (і (1 — ц) = О,
(2.2)
-150 УСТОЙЧИВОСТЬ в ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 9
а (х изменяется в области
о О О* = ¦9 = 0,038521 ... (2.3)
На рис. 13 приведена зависимость частот coj и ©2 от ц. В области
(2.3) выполнено только одно резонансное соотношение второго порядка <в2 = 1/2. При этом
ц = Цо = 3 ~62 = 0,0285954.. .
Расчеты по формулам § 7 главы 2 показывают, что при достаточно
малых е границы области устойчивости в окрестности резонансного значения Цо С точностью до первой степени е имеют вид
Iх = Цо ± е-0,05641 ...
(2.4)
Эти границы в работе [160] получены с точностью до е4. В [160] с точностью до членов порядка ег получена также граница области устойчивости, исходящая из граничной точки (х = (X*.
Теперь рассмотрим задачу об устойчивости в нелинейной постановке. Эксцентриситет считаем малым, удовлетворяющим вместе •с (х условиям устойчивости в первом приближении. Для решения задачи нужно функцию Гамильтона привести к нормальной форме, а затем, применив результаты главы 5, сделать выводы об устойчивости или неустойчивости точек либрации.
Сначала надо провести нормализацию квадратичной части функции Гамильтона. В этом параграфе построено линейное, вещественное, каноническое, 2л-периодическое по v преобразование qi, Pi —> qt, р* (і = 1, 2), приводящее квадратичную часть #2 функции Гамильтона к нормальной форме (2.1). Нормализующее преобразование найдено с точностью до первой степени эксцентриситета.
Пусть ©2- Сделаем сначала каноническую замену пе-
ременных qiy Pi —> q'i, pi по формулам (4.2) главы 7, а затем — по следующим формулам:
1 -
Рис. 13. Частоты tOj и аь линейных колебаний в окрестности точек либрации.
§ 21 ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 151
В переменных qu функция #2 примет вид
В г — ~2 ®і (<7i + РЇ)----®2 (<7г + Рг) +
+ -ГтШ^Г L (2-е)
vt+vs+n,+n.=a
Коэффициенты получаются такими:
#2000 “ — (Во)^ — 2(о^ — 9), #о2оо = O2W2 (8со2 — 2со2 9),
#0020 ^ 36aitt>i, #ооо2 = — 36а2(02,
#1юо = ІбР®^, #1ою — 16<X]A:(0i, (^- ^ У
#юо1 = — 8рАа»і(в2, #оііо = 8p&(Di(D2,
#0101 ” 16g2^^2» #ooii ~ — 36Po)j(o2.
В формулах (2.7) введены обозначения
2 (2ю| — 1) (4(0? + 9) у (1бсо*а)|-1- 117) (1 — 4а>*со2)
Теперь будем искать преобразование функции (2.7) к форме (2.1)» Для удобства дальнейших вычислений перейдем сначала к комплексно сопряженным переменным q], р] по формулам
q'i = Pi + iq>, рї = Pi — iq.i- (2-8>
В комплексно сопряженных переменных функция Гамильтона вычисляется по формуле
m = 2 ш2,
где й2 — функция (2.6), выраженная через q], р] согласно преобразованию (2.8). Получаем
Н2 (qj, р,,у) = ibhqiPi — ш-iqlpl +
, 0. ecosv " "Vi »v2 »Ц,
1 + е cos v 2-і av,v2n,ni!9i 9г Pi Рч • (2-9)
\'і+\'г+Ді+Д:=2
В функции Яа коэффициенты таковы, что = <fyl(isviv2’-
Черта означает комплексно сопряженную величину. Выражения для коэффициентов получаются следующими:
Н 1 _
#2000 = "4” ( #2000 + #0020 — ї#Ю1о)>
#0200 = (---- #0200 ~Ь #0002 - ї#010і)>
152 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 9
¦Лцоо = ~~?~ (— йцоо + йооп — ійlool — *'вопо)>
®іооі = (Йпоо + йооп — гаїооі + *вопо)>
¦^юів = ~2~ (Йгооо "Ь Яоо2о)> йоюі = ~2~ (®огоо "Ь ^ооог)-
(2Л0)
Теперь найдем преобразование q^, pj —> q, , р} функции Гамильтона (2.9) к нормальной форме в комплексно сопряженных переменных
Я** ,„** **ч .л ** ** . .. ** ** ,п ...
а № ,Pj )=- iKqi Pi + iUq* Pi • (2.11)
Пусть это преобразование задается при помощи производящей функции
