Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маркеев А.П. -> "Точки либраций в небесной механике и космодинамике " -> 61

Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.

Маркеев А.П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике — М.: Наука, 1978. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): tochkiliberaciyvnebesnoy1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 106 >> Следующая

0 < е 1 имеют порядок е2, а К3 и L3— порядок е4; Ки Кг, L1 и Z/2 равны нулю.
§ 4. Исследование устойчивости системы с функцией Гамильтона (3.4)
После проведения нормализации задача об устойчивости треугольных точек либрацки свелась к исследованию устойчивости положения равновесия р! = р2 ==р3 = 0 системы с функцией Гамильтона (3.4). Для исследования устойчивости сделаем сначала
тіт2т3ПіП2Пз т1т2т3П1П,Па
2 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 110 110 0 12 0 10 0 110 11 0 10 0 12 10 2 10 0 10 110 1 10 0 10 2 0 0 4 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 4 0 0 3 0 0 1 0 0 1 0 0 3
СИСТЕМА С ФУНКЦИЕЙ ГАМИЛЬТОНА (3.4)
179
замену переменных 03 = v + яр. Тогда уравнения движения сохраняют гамильтонов вид, но нормализованная часть функции Гамильтона не будет содержать истинную аномалию и член, линейный по р з, и будет иметь вид
Я = Я1р1 + Я,2р2 + Ар\ + Врхр2 + Ср2 +
+ p^ipi +^2р2+ F3p3) + В, (4.1)
где теперь
Fi — Di + Ei sin 2яр + Gt cos 2яр + Kt sin 4яр + Lt cos 4-ip.
Докажем следующую теорему.
Теорема. Если F3 (яр) Ф 0 при любых значениях яр, то положение равновесия устойчиво при учете в нормальной форме (4.1) членов до четвертого порядка включительно по Урс, если же существуют значения яр, при которых F3 (яр) = 0, но при этих значениях dFJdty ф 0, то положение равновесия неустойчиво по Ляпунову.
Первое утверждение сформулированной теоремы можно доказать при помощи теоремы Ляпунова об устойчивости. Для этого заметим, что если в нормальной форме отбросить члены выше четвертого порядка noj^pj, то укороченная функция Гамильтона Я— R будет интегралом движения. Кроме того, pi и р2 тоже будут интегралами. Для доказательства устойчивости функцию Ляпунова берем в виде
V =рї +Р1 + (Я-Я)2. (4.2)
Ясно, что dV/dt = 0, а функция V определенно-положительна, если уравнение F3 (яр) = 0 не имеет корней. Отсюда следует, что положение равновесия pj = р2 = р з = 0 устойчиво (для системы с укороченной функцией Гамильтона Я — В).
Второе утверждение теоремы доказывается несколько сложнее. Для доказательства используем теорему Четаева о неустойчивости. Пусть существуют значения яр, при которых F3 (яр) = О, и при этих значениях производная dFJdty ф 0. Из этого условия И периодичности функции Fз (яр) = 0 следует, что среди корней уравнения ^з(яр) = 0 существует по крайней мере одно значение, яр = яр", для которого - dF3ld\]p < 0.
Для доказательства неустойчивости функцию Четаева возьмем в виде
V =рз [cos (2яр — 2яр*) — cos 2е] — (Pl +р2)4'“. (4.3)
Здесь є — положительное сколь угодно малое число, которое подберем так, чтобы функция V удовлетворяла теореме Четаева о неустойчивости.
180
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. 10
За область V 0 примем область, определяемую такими условиями:
pi + рз <р’з‘ [cos (2^ — 2г|>*) — cos 2є]'\ (4.4)
1(5 = -ф* -f Г)Є (— 1 < Т) < 1).
В этой области справедливы следующие оценки:
cos (2-ф — 2-ф*) — cos 2є = 2(1 — т|2)є2 + О (е4), sin (2і|з — 2г|з*) = 2г)є + О (е3),
Рз М>) = Р'з М>*) т)є + О (є2), (4.5)
Р’з (Ч>) = Р'з (Г) + О (є),
?і = о(Рь, р2 = о(Р;'*).
Теперь, учитывая уравнения движения с функцией Гамильтона
(4.1) и принимая во внимание оценки (4.5), после проведения несложных вычислений, получаем в области V 0 выражение для производной
^ = p2[-2F3(r)(l+3Tf)E3 + 0(E3)+ 0(pV‘)j. (4.6)
Из ’этого выражения видно, что если е — достаточно малая (но фиксированная) величина, то в достаточно малой окрестности положения равновесия рх = р2=рз~0 производная dV/dt положительна в области V 0. Согласно теореме Четаева, отсюда следует неустойчивость положения равновесия.
§ 5. Устойчивость точек либрации при малых е
Рассмотрим устойчивость точек либрации Для малых значений эксцентриситета. Покажем, что если параметры е и ц находятся в области устойчивости в первом приближении и не принадлежат резонансным кривым третьего и четвертого порядков, то при достаточно малых значениях е (зависящих от ц) треугольные точки либрации устойчивы, если в нормальной форме функции Гамильтона пренебречь членами выше четвертого порядка по У"р{.
Пусть (і не равно ни одному из значений ц(°), задаваемых табл. 2 и 3 главы 9, и принадлежит интервалу 0 < ц устойчивости
в первом приближении для круговой задачи. Тогда при малых значениях эксцентриситета отсутствуют резонансы третьего и четвертого порядка и нормальная форма функции Гамильтона будет иметь вид (4.1). Рассмотрим свойства нормальной формы при малых е. Согласно § 4, для доказательства устойчивости нужно проверить, что функция F3 (гр) отлична от нуля при любых значениях гр.
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ МАЛЫХ |1 И е
181
В выражении для F3 слагаемые, содержащие угол яр, при малых значениях е могут быть сделаны сколь угодно малыми, а коэффициент D3 при уменьшении е стремится к функции с002 (fi), имеющей вид (см. формулу ДЛЯ С002 (ц) в восьмой главе)
С002 (И1) — 16 9jx (1 — jx)
Следовательно, для любого фиксированного ц существует достаточно малое положительное число е* (ц) такое, что при О <«< < е* (ц) функция /'’з(яр) будет отрицательной и, значит, уравнение Fз (Ф) = 0 не будет иметь корней. Отсюда и следует устойчивость лагранжевых решений.
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 106 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed