Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
— 2 < а2 < 6, (7.2)
4(а2-2)<а*<-1-(а2 + 2)а
6*
164
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 9
и представляет собой внутренность криволинейного треугольника, изображенного на рис. 15.
Для значений ах, а2, лежащих в области устойчивости, характеристическое уравнение (7.1) имеет простые корни с модулями,
Рис. 15. Области устойчивости и резонансные кривые в плоскости коэффициентов характеристического уравнения:
равными единице. Вне треугольника, где уравнение (7.1) имеет 1 1
С — ID Х-^ = N —f- —д , Хч ^ ІУ -|- д —¦—•— /<1 + 2/,2 = 2Я-і і Х% ~ *
11 1 А — В K = N ±— ; Х* — N Ч~ ~т~ ; Е—F Х^ -4-Ял = N 4- ~2~ ’¦
-------X1±3l2 = N, 3X1±Xi = N (N = 0, ±1, ±2, ...).
хотя бы один корень с модулем, большим единицы, исследуемое движение неустойчиво. Ца границе криволинейного треугольника уравнение (7.1), не имея корней с модулями, большими единицы, имеет кратные корни с модулями, равными единице.
Пусть коэффициенты ах и а2 лежат внутри криволинейного треугольника. Запишем корни уравнения (7.1) (мультипликаторы линейной системы) в виде
Рк = ехр (і2пХк), рл+2 — ехр (—і2пЩ. (7.3)
Величины Я* — вещественные числа (± — характеристиче-
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
165
ские показатели линейной системы). Коэффициенты характеристического уравнения (7.1) связаны с величинами А* посредством следующих соотношений:
«і = 2(cos 2яА,х + cos 2яА,2), а^ — 2 + 4 cos 2nA,1cos 2яА,2. (7.4)
Граница криволинейного треугольника соответствует параметрическому резонансу к1Х1 + к2Х2 — N (кг, к2, N — целые числа; | к± | + | к2 | = 1 или 2). Эти резонансы обнаруживаются уже при анализе линейной задачи. Получим еще внутри криволинейного треугольника кривые, соответствующие резонансам третьего и четвертого порядков, обнаруживающимся при нелинейном анализе.
Из соотношений (7.4) получаем, что резонансные соотношения ЗА,,; = N, АХк = N и 2(A,j ± А,2) = N осуществляются соответственно на прямых а2 = 1 — аъ а2 = 2 и ах = 0. Резонансные соотношения Xt ± 2Xj = N и Xt ± 3Xj = N (і, / = 1, 2; і Ф /) осуществляются при значениях аг и а2, удовлетворяющих соответственно равенствам cos 2яА,г — cos 4яXj = 0 и cos 2nXt —
—cos 6яА^- = 0. Все эти кривые изображены на рис. 15 внутри криволинейного треугольника.
Получим явные выражения величин Хк через коэффициенты характеристического уравнения ах и аг. Из равенств (7.4) следует, что z = cos 2яА,1 и z = cos 2яА,2 удовлетворяют следующему уравнению:
4z2 - 2a±z + (а2 — 2) = 0. (7.5)
Из этого уравнения и соотношений (7.4) величины и Х2 определяются неоднозначно. Для их однозначного определения воспользуемся непрерывностью Хх и Хг по параметру е. Рассмотрим предельный случай круговой задачи. При е — 0 корни уравнения
(7.5) будут такими:
cos 2Я0)! + cos 2ясо2 + | cos 2jtt0j — cos 2ясо21
zі, 2 -----------------2--------------------•
Нетрудно Проверить, ЧТО COS 2я(0! > cos 2ясо2. Поэтому
1 1
А,! = -f^- Arccos Zi, Х2 = Arccos z2.
Далее, учитывая, что 1 > ©j > ]^2/2 > (о2 > 0, получаем
А* = 1-----gjj- arccos zx при любых ©і и щ,
1 1 [ 2ЇГ arccos z2 при 0 < 0)2 < •-*- ,
1 1 V5
1 - 1 +-25Гarccosz2 при -у < о)2 <-^ .
166
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 9
Таким образом, неоднозначность в определении величин Xj и Яа устранена и при любых е внутри областей устойчивости линейной задачи, изображенных на рис. 12 они вычисляются по следующим формулам:
Приведем сначала результаты численного исследования устойчивости для значений параметров е, [х, при которых выполнены резонансные соотношения третьего и четвертого порядков.
- Прежде всего отметим, что резонансные кривые AjA-j + к2Х2 = N, для которых целые числа к1 и к2 имеют разные знаки, в подробном исследовании не нуждаются, так как для подобных резонансов имеет место формальная устойчивость [157], если отсутствуют другие резонансные соотношения любого порядка. В противном случае можно сделать утверждение об устойчивости при учете в разложении функции Гамильтона членов лишь до четвертого порядка включительно относительно координат и импульсов возмущенного движения.
В области устойчивости линеаризованной задачи в плоскости параметров е и ц существуют пять резонансных кривых третьего порядка и на четырех из них величины кх и к2 имеют одинаковые знаки. Резонансные кривые изображены на рис. 14. В результате численного анализа выяснено, что для всех четырех резонансных кривых ЗЯ,2 = —1, Я-! + 2А,а = О, 2Я-! + Я,2 = 1, ЗЯ,2 = —2 имеет место неустойчивость по Ляпунову.
При резонансах четвертого порядка картина устойчивости более сложная. В области устойчивости линейной задачи существуют восемь кривых, на которых выполнены резонансные соотношения четвертого порядка. Эти кривые изображены на рис. 14. На шести из них в резонансных соотношениях к^ + к2Х2 = N величины и к2 имеют одинаковые знаки. Проведенные расчеты показали, что на кривых резонансов четвертого порядка существуют как участки устойчивости в четвертом приближении (при учете в разложении гамильтониана членов до четвертого порядка), так и участки неустойчивости по Ляпунову. Результаты численных расчетов представлены в табл. 7.
