Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
После проведения линейной нормализации функция Гамильтона примет вид
з
Н = + Рі) + ^ hm,n(v)qmpn + .. . (3.1)
і — 1 т, п
В этой формуле для краткости введено обозначение
h птпп _ h птіпт*пт‘т>піт>п*г>п‘
nm, пЧ Р — 42 Чз Pi Р2 Р3 і
суммирование происходит по целым неотрицательным числам mh Пі, сумма которых равна трем или четырем, а многоточием обозначены члены ПЯТОГО И более ВЫСОКИХ порядков относительно qi, Pi. При этом для всех одночленов hni<nqmpn число п3 — 0, а пц равно 0, 2 или 4, функции hmin (v) — 2я-периодические по v, а их разложения в ряды Фурье содержат первые и вторые гармоники v с коэффициентами, пропорциональными соответственно первой и второй степеням эксцентриситета.
Нормализация членов третьей и четвертой степеней в Н производится стандартным путем при помощи преобразования Биркгофа. Если число г = кт%х + к2К2 + к3к3 не будет целым при целых kt, сумма модулей которых не больше трех, то члены третьей степени в Н можно исключить полностью.
Отметим, что так как в функцию (3.1) пространственные переменные входят только в четной степени, то число к3, входящее в выражение для г, таково, что | к3 | равен нулю или двум. Если к3 = 0, то внутри области устойчивости в первом приближении г может быть целым числом на резонансных кривых третьего порядка, которые соответствуют плоской задаче трех тел. Эти кривые представлены на рис. 14.
Если же | к31 = 2, то в силу того, что Я3 = 1, число г будет целым лишь тогда, когда либо Xt, либо К2 будут целыми числами. Но это невозможно, так как при всех є и ц внутри области устойчивости в первом приближении 0 <; | | <С 1 (см. формулы для
в § 7 гл. 9). Таким образом, члены третьей степени в функции Гамильтона (3.1) можно уничтожить, если параметры е, ц не при-
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
177
надлежит резонансным кривым третьего порядка, представленным на рис. 14, и, следовательно, наличие резонанса 13 = 1 в членах третьего порядка не проявится.
Обозначая через g*, pi новые канонические переменные, вводимые преобразованием Биркгофа при уничтожении членов третьей степени, получаем, что функция Гамильтона в новых переменных будет иметь вид
з
Н' (q'j, p'j) = 4" Xi & + рЬ + X, hm'n ^ q'mp'n + ' ’ (3'2^
і —1 m, n
Здесь суммирование по m, n происходит для неотрицательных целых чисел го,-, nt, сумма которых равна четырем, h'm n(v) — 2я-периодические функции v, в которые первые и вторые гармоники входят снова с коэффициентами, пропорциональными еже2, соответственно. Кроме ТОГО, <7з И р3 входят в члены четвертой степени функции (3.2) только в следующих четырех случаях:
Го3 = п3 — 1; т3 =2, п3 = 0; т3 = 0, п3 = 2; т3 + п3 = 4.
Теперь при помощи преобразования Биркгофа упростим члены 4-й степени в функции Гамильтона. Для удобства введем комплексно сопряженные канонические переменные qj, pj по формулам
Qi ~ Qi iPj, Pj — Qi iPji функция (3.2) в новых переменных примет вид Н" = — i^QiPi — — ik3q-!P3 + 2j hrn, n (v) q"mp"n + . . _ (3.3)
mi П
Величины q3, p3 входят в члены четвертой степени в четырех случаях: го3 = п3 = 1; т3 — 2, п3 = 0; т3= 0, п3 = 2; т3 + п3 = = 4. К функции Н" удобно применить преобразование Биркгофа. Если число
г = (т.! — п^)%1 + (т2 — п2) %2 + (т3 — п3)Х3
не будет целым, то соответствующие члены четвертой степени могут быть исключены. Число г будет целым на кривых резонансов четвертого порядка, обнаруживающихся уже в плоской эллиптической задаче трех тел. Они представлены на рис. 14. Если параметры е, ц не принадлежат этим кривым, то все члены четвертой степени в Н", не содержащие q3, р3 (для них т3 = п3 = 0), можно уничтожить, кроме трех, которые зависят от произведений цлрл и q2p2. Но коэффициенты при них можно сделать постоянными.
Рассмотрим теперь одночлены четвертой степени в Н", содержащие q3, р3. В этом случае из-за того, что имеет место резонанс
J78 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. 10
Х3 = 1, кроме трех одночленов, зависящих от произведений Qj Pi (J ~ 1) 2, 3), нельзя уничтожить еще восемь одночленов, содержащих либо только <7з и р3, либо q3, р3 и произведения qlpl или qlp"2. Таким образом, если параметры еи|і не принадлежат кривым резонансов третьего или четвертого порядка, то
в нормальной форме функции Гамиль-Таблица 9 тона будет содержаться четырнадцать членов четвертого порядка. В табл. 9 приведены значения соответствующих им показателей степеней тг, гаг. Пусть Я и Р і — канонические переменные, введенные преобразованием Биркгофа при упрощении членов четвертой степени. Если теперь перейти к вещественным «полярным» координатам по формулам
^ = iVWi єхр (— І0Д
Pj = -iV'Vi'exp (iQj) (/ = 1,2,3),
то получим такое выражение для нормализованной до членов четвертого порядка функции Гамильтона:
Н = Хф! + Х2ра + р3 + Ар\ + Spip2 + Cpl +
+ РЗ (^lPl +^2Р2 + ^3ps) + В, (3.4) где R 2л-периодична по угловым переменным 07- и v и имеет пятый порядок относительно Ypi- В функции Гамильтона (3.4) введены обозначения
Fi = Di + Et sin (203 — 2v) + Gt cos (203 — 2v) 4-
+ Kt sin (403 — 4v) + Li cos (403—4v).
Величины А, В, C, Diy Eu Gt, Ku Li не зависят от 0Ь 02, 03 и v и аналитичны по е при достаточно малом его значении. Коэффициенты А, В, С, Di при е = 0 вычислены в зависимости от ц в [63, 111] и приведены в седьмой и восьмой главах. При малых е в них возникает поправка порядка е2. Коэффициенты Et, Gt при
