Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица Z
Резонанс 3>.2= — 1 Xg-}- 2Хя~ 0 2М- 1 Яг— 2X2= 2 ЗЯ.2=— 2
ц<»> 0,014853 0,024294 0,035385 0,035385 0,038026
—0,085955 —0,286514 0,103135 0,300928 0,110288
Таблица 3
Резонанс 'Л2= — 1 Xi“J~ 3Xj= 0 Я*— ЗХг= 2 2 (Ы- М = 1
0,008757 0,013516 0,016597 0,021286
^(2) —0,039023 —0,065356 —0,122576 —0,135998
Резонанс ЗА*-)- Л<?— 2 3h— 3 Xi“{~ 3X2= — 1 4Л,= 3
ц(0) 0,031232 0,035385 0,035385 0,037894
р.») 0,219357 —0,094658 0,169066 0,057200
линейной задачи построены резонансные кривые, которые были получены при помощи численных расчетов на ЭВМ при произвольных е. Найдем уравнения резонансных кривых при малых значениях эксцентриситета. Для этого и к2 надо получить с
156
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
[ГЛ. 9
точностью до е2, так как величины оказались равными ну-
лю. Величины А.]2*, Я,2) найдутся из условий периодичности функций Siow и «оїси- Действительно, из (2.13)—(2.15) получаем такие
Рис. 14. Резонансные кривые.
дифференциальные уравнения для этих функций:
d (2)
—= — 2і cos V (4а00204сюо + aioiosioio + aiooisoiio aooiisnoo) “Ь
+ 2 і cos2 vfl1(,io + ikі \ ¦-
ds( 2) W'*/
—= — 2і cos v (4a0002So2()o + аопэ4оо1 ~\~ aoioisoioi + aoonsnoo) +
2 і cos2 va0i0i “Ь ik%
Подставив в правые части этих уравнений функции Sy^nin* и подобрав А.22) так, чтобы постоянные слагаемые в правых частях были равными нулю (условия периодичности sioio и Soioi)> получим после некоторых преобразований, использующих формулы (2.7), (2.10) и уравнение (2.2), такие выражения для и А22):
(2)_ (Qtto2 (би2 7) л(2) (о2(о2(6(о2-7)
1 4(4ш2 —1)(2о)* —1) ’ 2 4 (4оэ| — 1) (2g)2 — 1) ' ( ' '
Резонансная кривая кгкг + к2кг = N при малых е будет иметь уравнение
ц = ц(°> + е2ц(2> + . . ., где ц(0) — точка, из которой на оси Оц начинается резонансная
РЕЗОНАНСЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
157
кривая. Учитывая (2.15), для величин |х<2) получаем выражение r d(02 da j ' '
к2 ~5jT — Лі ‘djT
В этом выражении правая часть вычисляется при ц = [iW. Числовые значения величины [i(2) для резонансных кривых третьего и четвертого порядков приведены в третьей строке табл. 2 и 3.
§ 4. Резонансы третьего порядка
Рассмотрим устойчивость лагранжевых решений при значениях параметров ttt, е, принадлежащих резонансным кривым третьего порядка. При малых значениях эксцентриситета резонанс Xj — 2А,2 = 2 не может привести к неустойчивости, если в нормализованной функции Гамильтона учесть все члены только до третьего порядка относительно координат импульсов. Этот резонанс не приводит к неустойчивости и при учете в гамильтониане членов четвертого порядка, так как при 0 < е 1 резонанспая кривая А,г — 2А,г = 2 не пересекается с другими резонансными кривыми третьего и четвертого порядков.
Исследуем оставшиеся четыре резонанса третьего порядка. Исследование просто, хотя весьма громоздко. Основные трудности здесь связаны с проведением нормализации Биркгофа. Мы не будем приводять подробно все вычисления, так как они стандартны и очень громоздки. Укажем только на основные моменты, связанные с применением преобразования Биркгофа, и приведем конечный результат нормализации.
Во-первых, ясно, что коэффициенты нормальной формы функции Гамильтона будут аналитическими функциями е. Во-вторых, замечая, что N-я гармоника v входит в производящую функцию линейного нормализующего преобразования, а также в Н3 и #4 с коэффициентом, пропорциональным эксцентриситету в степени, не меньшей N, нолучаем, что при резонансе к^ + к2кг — N отличие коэффициентов ахьтс„ Ькикг в нормальной форме от нуля может обнаружиться только в N-м приближении по е.
Таким образом, неустойчивость при резонансе ЗА,0 = —2 не может быть обнаружена, так как мы учитываем только первую степень эксцентриситета. Резонанс -f- 2Я,2 = 0 проявляется уже в круговой задаче (е = 0). При малых е нормализованная функция Гамильтона будет иметь такой вид:
Н — XjPj + Я,2р2 -f- Уp1p2[/li2 sin (0г -}- 202) gb2 cos (0г -f- 202)] -j-
+ О ((Pl -f р2)2). (4.1)
Здесь и в дальнейшем через р;, 0,- обозначаются новые канонические переменные, введенные преобразованием Биркгофа. В
158 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 9
функции (4.1) приняты обозначения
/і, а = — (36(0® + 245(о2 — 515(о2 + 176(0i(02 +
192со2 V 2coj
+ 288(0!(02 — 54) + О (є2),
gi, a = (88(0!^ + 448(0^2 + 74(0!(02 + 45о^о^ —
192co2 V 2coj
- 594(0,1 + 243(0!) + О (e2).
Далее, так как на резонансной кривой Aj + 2А2 = 0 (как и на всех резонансных кривых) при малых е отличие р, от значения, соответствующего порождающей точке ц<°>, проявляется только при е2, то, чтобы получить значения /Ь2, gi,z вдоль резонансной кривой с точностью до величин порядка е2, нужно в формулах
(4.2) положить ц = = 0,024294. Получим
/1>2 = 1,322 + О (е2), ё1Л = -0,298 + О (е2).
Сделаем каноническое преобразование
Pi = Ri, 0i = V + я|>і + б, 02 = A2v + г|;2, (4.3)
где угол
б = — arcsin -----------------
,2 I ®1, 2
Теперь функция Гамильтона запишется в виде
Н = в!,2 VR^R* sin (я|>! + 2г|;2) + О ((і?! + i?2)z), (4.4)
где коэффициент а1л = 1,355 + О (е2) и при достаточно малых е отличен от нуля. Поэтому (см. § 4 главы 5) для значений fi, е, лежащих на резонансной кривой Aj + 2А2 = 0, при достаточно малых е лагранжевы решения неустойчивы.
