Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
(1.4), чтобы выразить вектор импульсов X через новые переменные у, Y, а потом результат обращения подставить в правую часть уравнения (1.3), чтобы явно выразить вектор координат х через у, Y. С практической точки зрения упомянутые операции обращения и подстановки являются весьма трудоемкими. Во-вторых, для получения обратного преобразования у, Y —> х, X нужно выполнить такой же объем вычислений, как и при нахождении прямого преобразования. Здесь требуется сначала обратить уравнение
(1.3), чтобы выразить у через х, X, а затем результат подставить в (1.4) для получения выражения Y через х, X. В-третьих, неявные соотношения (1.3) и (1.4) метода Цейпеля не дают общего алгоритма преобразования достаточно произвольной функции / (х, X; е) первоначальных фазовых переменных х, X в функцию новых переменных у, Y. На практике такой алгоритм очень часто необходим.
В последнее десятилетие в работах [108, 113, 142, 143, 155, 156] разработан новый способ построения канонического преобразования х, X-»-у, Y, в котором устранены упомянутые недостатки метода Цейпеля. Основные достоинства этого способа состоят в следующем:
1) формулы замены переменных х, X —»- у, Y получаются в явной форме;
2) обратное преобразование не требует никаких дополнительных вычислений;
3) формулы преобразования пригодны не только для координат и импульсов, но и для любой функции от них, в частности для гамильтониана;
4) формулы метода задаются рекуррентно и необходимые вычисления могут быть достаточно просто реализованы на ЭВМ.
Метод, разработанный в [108, 113, 142, 143, 155, 156], основывается на простой идее, использующей тот факт, что преобразование фазового пространства, осуществляемое при помощи движений гамильтоновой системы, является* каноническим [16]. Практическое осуществление канонических преобразований в работах [108, 113, 142, 143, 155, 156] опирается на использование рядов Ли и преобразования Ли.
Основы упомянутого метода разработаны независимо Хори 1142] и Депри [ИЗ]. Дальнейшие работы [94, 108, 137, 143, 144, 155, 156, 171] содержат его более детальную разработку и отладку. Краткое изложение основных идёй метода канонических преобразо-
188
ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ—ХОРИ
[ГЛ. 11
ваний Депри — Хори содержится в лекциях К. В. Холшевнико-ва [94] и монографии Джакалья [137].
Настоящая глава посвящена изложению основ метода Депри — Хори в теории возмущений канонических систем. Для ясности изложения предварительно рассматриваются ряды Ли и их некоторые свойства. Затем следует подробное изложение метода Депри в модификации Кэмила. И в заключение главы кратко рассматривается преобразование Хори. При изложении материала этой главы используются оригинальные публикации авторов метода, лекции К. В. Холшевникова [94], монография Джакалья [137], а также мало известная работа Кэмила [144].
§ 2. Ряды Ли как каноническое преобразование
Наряду с исходной канонической системой дифференциальных уравнений, задаваемой функцией Гамильтона (1.1), рассмотрим вспомогательную каноническую систему
где W (х, X) — произвольная достаточно гладкая функция.
Пусть при ? = 0 х = у, X = Y. Обозначим решение системы
(2.1) при t = є через
Произвольная функция отх, X в силу соотношений (2.2) становится некоторой функцией от у, Y, а также от є и W:
Здесь и далее в настоящем параграфе чертой обозначается результат замены переменных, осуществляемой согласно формулам (2.2). Так как функции х, X в (2.2) являются решениями гамильтоновой системы (2.1), то преобразование (2.2) будет каноническим [16]. Мы ограничимся рассмотрением случая малых значений |е|. Понятие ряда Ли вытекает из решения задачи Коши
dx _ Ш_ dX_ _ 8W
dt ЭХ ’ dt дх ’
(2.1)
х = х(у, Y, е, W), X = Х(у, Y, е, W).
(2.2)
-^- = g(z), z |(=0 = Z,
(2.4)
где zT = (zb . . ., zm) и gT = (gi, . . ., gm) — аналитическая функция своих аргументов в окрестности точки Z. Решение задачи (2.4) при t — е дается рядом Ли [139]
g 2j ряды ли 189
сходящимся при достаточно малом е. Здесь D — оператор Ли
т
D = ygi (Z)A,
Ы 4 (2.6)
D° = 1, Dn+1 = DDn.
Если система уравнений (2.4) имеет вид (2.1), то результат применения оператора D к функции f запишется так:
Lwf = (/ • W), (2.7)
где (f'W) — скобка Пауссона
ф- (2-8>
Выражение (2.7) называется производной Ли функции /, порожденной функцией W, а оператор Lw — оператором Ли.
Имеют место следующие, легко проверяемые свойства опера-
тора Ли:
1) Lw (а/ + Pg) = аLwf + §Lwg (а, Р — const),
2) Lw (fg) = gLwf + fLwg, (2.9)
3) Lw (f-g) =(L\vf-g) +(f-Lwg),
4) L\yLvf = LyLwf + L(w-v)f-
Используя (2.9), нетрудно доказать свойства степеней оператора Ли:
1) Lw (а/ + Pg) = ctLwf + fiLwg (а, Р — const),
2) L^(fg) = І CnLwfLwmg, (2.10)
ТП—о
3) й(і^)= І ciro-Cj).
m=o
Здесь
C = ~, "! 12.11)
ml (n — m)\ v '
Пусть функции JV и / — аналитические. Тогда очевидно, что при достаточно малом є ряд
оо
Lwf = exp (eLw) / (2.12)
m=o
будет сходящимся. Легко проверить, что имеют место следующие
190 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ—ХОРИ [ГЛ. 11
свойства оператора ехр (eLw)¦
1) ехр (eLw) (а/ + Pg) = а ехр (eLw) / + р ехр (eLw) g
