Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
' д2э , д2э
dv\
dv2 ди;.
> о
и по (10) уравнение (9) имеет решение v = vt, что и требуется.
§ 3. Одноосное растяжение в материале Синьорини,
Блейтца и Ко, полулинейном материале
1. Выражение тензора напряжений (5.9.2) после замены Я через р и v по
(2.8) при с = 0 (упрощенный материал Синьорини) приводится к виду
1 ~V'*' 4 ji) E + (l- 2v - j[) A. (1)
2p " у < 4
Здесь А -тензор деформации Альманзи, Ц= 11 (А). По (1.7.8) A=4(E-F-B. А"
= 4п-уг2). -оо<Л.<4-, (2)
2 '
§3] ОДНООСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ В МАТЕРИАЛАХ 197
причем Ад-0 в натуральном состоянии, а границам интервала (- оо, 1/2)
соответствуют бесконечное сжатие и бесконечное растяжение стержня.
В одноосном напряженном состоянии А%-= А3, = А1-\-2Аг
ох = Л, (1 - V) - 4 А? - AjA2 + 2vА2 + А|, (3)
b^a2=vA1 + |A12+A2-AI = 0. (4)
Корень квадратного уравнения (4), меньший 1/2, определяется формулой
А2=|( 1 _ Д1/2), Д = A2 + 4v-f 1
и Д для допустимых в теории Синьорини значений v (5.2.16) неотрицательно.
Главная сила
h = у1сБ = (1 -2Аг)~1о1 = Л-1/2 ог
по (3) представляется выражением
^=T^[Ai~1~2v + A^ Ц+гг + А^А})]. (5)
Соответствующая бесконечному удлинению А1 - 1/2 разрывающая образец сила
Q = tyS0 оказывается конечной (S0 - площадь сечения в натуральном
состоянии) и равной
и при всех допустимых v:
- |-<v<y, < Q < jpS0. (6)
Сжимающее усилие, доводящее длину стержня до нуля (Аг->- оо), бесконечно.
2. Для материала Блейтца и Ко при одноосном растяжении (a2 = a3 = 0)
по (5.6.5)
]A/3 = v1v! = vy2, vi=vyi,V/3 = Vv1, 7Г=1- УГ5/2, (7)
Г
од -монотонно возрастающая функция, отрицательная при сжатии (0<ух<1) и
положительная при растяжении (^ > 1). Иначе ведет себя главная сила tx
-t1= ?2л = vr112 - or3, - р = - 1 цГ3/2 (1 - 6уГ5/2 ), (8)
|х 1 Vi (х 014 2 v i \ /
Монотонно растущая от - оо до 0 при сжатиях, а при растяжениях имеющая
весьма пологий максимум t?"0,58р при
198 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
vt = гф"2,1. Любому значению t1 = tl<t? соответствуют два у, > 1: одно у,
< у?, другое у" > у?. Этим иллюстрируется действенность критериев
монотонности (5.10.13) не во всей области значений а, а в окрестности (в
этом случае, однако, достаточно далекой) натуральной конфигурации.
3. Для полулинейного материала при одноосном растяжении по (5.5.5)
а1 = 7[(^ + 2р)б1 + 2б2], а2 == + 2 (Х-|- р) 62] = 0 ^
(б, = vs- 1) и как следовало ожидать
- А. (Ю)
так что
^ = = h = E6lt ? = Д+Д, (И)
vt Л+Р V 2 Л+Р
как в линейной теории. При одноосном растяжении призматического стержня
направления главных осей меры деформации сохраняются, поэтому
0х = Е, VR = VRT = V, Vr = VrT = V-1,
¦yf ~ VrT T = ajV"1 • = ip,/,;
S
как можно было предвидеть, - (11)-компонента тензора Пиола. По (5.5.1)
имеем
э = Д (6t + 2б2)2 + р (б? + 2б2) ^ б* [ 1 К (1 - 2vy2 + р (1 + 2v2)' =
_L К2р _ J_ Д_
2 1 2 Е •
Далее по (5.5.11), (5.5.13) находим Эх=э+\/,((Р. )=| + 1" VR^
(5х)р - ip, ± (4 + и )
и, как ожидалось,
+1, ^1 = (-§+ l) а1 = (*1 + 1) a1
Это вычисление приведено с целью показать применение принципа
стационарности дополнительной работы в простейшем случае.
§4]
ПРОСТОЙ сдвиг
199
§ 4. Простой сдвиг
Задаче о сдвиге принадлежит в нелинейной теории особое место -ею дается
неосуществимое в линейной теории объяснение предсказанных и
экспериментально обнаруженных явлений в изотропном упругом материале
(эффекты Кельвина - Вертгейма, Пойнтинга).
Простой сдвиг задается линейным преобразованием, осуществляющим
превращение прямоугольного поперечного сечения ABCD параллелепипеда в
параллелограмм AB'C'D'\ разыскиваются поверхностные силы, осуществляющие
эту деформацию.
Преобразование координат as отсчетной, натуральной конфигурации в
координаты xs актуальной и обратное преобразование задаются соотношениями
дх1
R = ipi* = r-|- iLsa2, г = isas =-= R - ^sx2, s = tg у - const
(оси X и Y имеют направление сторон AD и АВ прямоугольника, ось Z
нормальна к плоскости сдвига). Как говорилось, поперечное сечение a3 =
const параллелепипеда -прямоугольник ABCD - становится параллелограммом с
острым углом при вершине я/2 -у. Получаем
о
VR^^E + KKs, Vr = E - i2i1s,
о
VRT - Е + U2s, VrT = E - i,i2s
Меры Фингера и Альманзи оказываются равными
F = VRT. VR = Е + (iji2+ i2ii) s + ijM2, ,2)
g = Vr-VrT = E - (KK + i2it) s+ i2i2s2,
/3(F) = 1, /t(F) = 3 + s* = /2(g), /1(g) = /2(F) = 3 + s2 (3)
-4-2 --4- -1 E-
и no (4.3.4) уравнение состояния приводится к виду
T-2[Em-+wA+w,{/'E~Fh?} = -
-НУ.+ Ui) s+ il'1 (w^+wj s>+ 3T,S']'
Полагая
9(1,, /2, /З) = з(3 +s2, 3 + s2, l)=3(s2),
имеем
200
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
При обозначениях
t = 2
(6)
компоненты тензора напряжения в декартовых осях (его физические
компоненты) представляются выражениями
Выражение t12 делает естественным наименование р, (s2) модулем сдвига; по
(4.7.12) р (0) = р -модуль сдвига линейной теории. Заметим, что ^ (s2) -
четная функция, равная по (4.3.22) нулю при s = 0. Отметим также
универсальное (не изменяющее формы записи для всех материалов)
