Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
по (III.7.28) приводятся к виду (Я^К Я2 = г, Я3 = 1)
д л ^ д-Стг р . у р.
w rar -<хф + + г + грЛ = О,
-|г/-тгф + т(рг + ^ + г^ + гр0^ф = 0, (2)
д ~ , <?Т(р2 . да, , , п
57-гт-+-^- + г^Г + гРо^-0-
Обозначения оп .. ., т,.2 применены, чтобы отличить эти величины от
физических компонент тензора напряжений Коши Т; конечно, в (1) и (2)
тГф=^тфг и т.д.
На поверхностях г = const и г = const
ег • Р = аГе, + тГфеф + т"к = f{г), к Р = тгге,. + тгфеф + агк = i(k).
Койтер (W. Т. Koiter, 1975) рассмотрел, как пример применения принципа
стационарности дополнительной работы, задачу о заделанной по краю г^а
круглой мембране пренебрежимо малой толщины. Статически возможное
напряженное состояние задается тензором Пиола, его компонентами а,., аф,
т,.г, зависящими лишь от г. По (1) и (2), учитывая собственный вес
мембраны (p0kz =- у), приходим к соотношениям
5<Р =(/'5r)'. ^гг = \уг, Ог = 0. (3)
Конечно, более содержательной была бы постановка задачи с пренебрежением
весом мембраны, но с учетом распределенного давления по ее поверхности.
Имеем теперь
Р = arerer -f (гаг)' ефеф + у угегк,
г = а,е,ег + (стгг)' ефеф + у утке,,
так что
Р • Рт = f ог2 + 4- у V2) егег 4- (гаг
1 \v, W
(Р-Рт)'/2= (^+Ty2r2j еге,4-(г<хг)'ефеф.
По (5.5.11) выражение удельной дополнительной работы приобретает вид
3x = le{^+(^)'44-yV-2v (rory Y a2r+jV2r2 +
+ Е[уГ ?*4-±7*г*+(г<у,)']}, (5) причем Е = 2р, (1 -)- v)-"модуль Юнга".
212 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ.
По (5.5.12) теперь определяется градиент места
0 1 еДд4-кУ'- '
VR = (Эх)Р =±P + t, (1 Д
]Лд|у2г2 1 7
-ефеф (lj-]/ Д-|- у2'2 ) . (6)
"Аналог уравнения Бельтрами" (4.17.12) приводит теперь к
дифференциальному уравнению для напряжения а,.
00 / 3 1 д \ 0
VxVR=(er7F + ±e,A)xVR = 0.
Проделав это довольно громоздкое вычисление, получаем
-L(ri;дзга;--1 дi = (?)
]/ ^Д-^У2'2 у у игД- yV
Введя, следуя Койтеру, безразмерные величины, a=(^-)/s, ar=Eas, Р = у, оф
= Да (ps)\
. __ - Л"вЛв/Ув ^
4
можно записать (7) в виде
1 г \ Да/рУ'Д 3ps'-4- rvap\ =\=0- (9)
- - у2р2а2 = - Д2а3 р2 (8)
Уs2 +4ар2 V У ^
Штрихами здесь обозначены производные по р. Поскольку а<^1, можно
довольствоваться полученным Койтером (другим путем) упрощенным уравнением
p2s"+ 3ps' Д-Д = 0, (10)
не содержащим ни геометрических (а), ни материальных (Е, v) параметров.
Переходим к определению вектора места. По (6) о о
dR = dr • VR = (er dr Д геф йфДк dz) • VR =
l~(ro,y
-iyrk[ - + ==• )dr +
У a*+TVV*
/
|агйгДгеф[(-^-Д 1 -
-т У(11)
" S /
к "
КРУГЛАЯ МЕМБРАНА
213
Через w обозначается вертикальная компонента R -прогиб мембраны, равный
нулю-при г = а
w =
1 -jK)'
]/" Щ + ^72г2 1
-к-У Г dr.
(12)
Теперь выражению вектора места придается вид
м (
R= 1да+ J | ег ма \
gr(r^)'
у2/-2
ar dr +
ге,г
(гаг)'
1~ТГ У °*г+ту'г*
\
йЛ (13)
и должно выполняться условие интегрируемости, записываемое в виде
1 ,
+ ТУ2г2
J, = {/
Конечно, оно представляет лишь другую форму записи уравнения (7); (13)
приводится теперь к виду
R = ki"
Или
(шг)'
j 7 V21 г} ег dr +
геф dф
Г
R = кдо -)- j* d | err
(rary
1 -
7 ]/ s;+|tv]} =
^koi + r + e,.^. (14) Здесь ur - радиальное перемещение частиц мембраны
(г°гУ у , ±
? ? К + 4
у2/-2
(15)
214 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ Цл. 6
При г = а отсюда получаем одно из краевых условий для урав-нения (7)
= 0
r = a
(ur)r=a-0: или
р - 1: s' + s - V j/s2 + ja-0. (16)
Возвращаясь к (15), естественно потребовать обращения в нуль (по условию
симметрии) перемещения иг в центре плиты. Это приводит к условию
конечности при г~ 0 величины (15) в квад. ратных скобках
(гогУ- vor или ps' + (l-v) s конечно. (17|
Но аг в центре плиты также конечно, так что (17) можно свести к условию
конечности (гаг))=0. Возвращаясь теперь к (7), умножая на г и интегрируя
по г, приходим к соотношению
±г2-Г________________+ ±г"п'-1УУ1С rl*L - о
2 f----j---- + Е г °г 2 Е I /---------1----
о }/ Щ + |уЭ2 о }/
так как (г3а()г=0 = 0 при конечном га'г. При малом г, поскольку огФ 0,
оно приводится к виду
1
аг = -
г3
Гг г г ~1
1 п 2 Г г3 dr 1 "Г ra dr 1 , [' гь dr
'ТЕУ "^2 Ь 77 v7 --77 v7
а' " 2 1 J ar 16 J of
L о о ri Jr -"о
-0,
так как выражение в скобках имеет порядок не ниже г4. Условие (17)
выражает поэтому краевое условие
г = 0: о'г = 0 или р = 0: s' = 0. (18)
Прогиб в центре плиты по (12) определяется выражением
"T = ^ajra+T | [!-va(Ps)']-/ РФ, 1 • <19)
( о у s2+2-"P2J
Малость параметра а допускает замену (19) приводимой Кой-тером формулой
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
215
После замены краевого условия (16) его приближенным вы-
Задача приводится к дифференциальному уравнению (10) при условиях (21) и
(18). В работе Койтера приведены результаты численного решения этой
краевой задачи для нескольких значений v.
§ 8. Плоская задача для полулинейного материала
1. Геометрические соотношения. Преобразование отсчетной конфигурации в
актуальную задается соотношениями (греческим индексам сообщаются значения
