Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
критерий монотонности, соблюдается при выполнении условий
<Э2э \2 ^ г,
> 0 и т. д.
а2э dvI
. " d(b д2э
, 2 , 2 dvx dv2
(let
db
dvi dv2 >0,
dvsdvh{
повторяющих (9.10), и условий
Ат > 0, Г = 1,2,3.
В другой записи неравенствам (14) придается вид
{vl + _ 1 (CTe + Gb) > 0>
гаЬ '
гЬа '
va~
(13)
(14)
(15)
причем а, 6=1, 2, 3 и афЬ.
После тождественных преобразований, в которых отбрасываются некоторые
положительные множители, (15) заменяется ему эквивалентным неравенством
(va - РЬ) К - аь) > -"~"*Г-(Ра + Р") (1б)
причем его левая часть положительна при выполнении ВЕ-кря-териев
(4.12.12), а в правой аь заменимо по (15) на ста. Достаточным условием
выполнимости этого равенства является наличие в паре (са, аь) хотя бы
одной неположительной величины.
Все три неравенства (14) выполняются поэтому при наличии в каждой из пар
(с^, а2), (а2, ст3), (а3, ах) хотя бы одной неположительной величины,
иначе говоря, все неравенства заведомо выполняются, если при выполнении
.(c)(^-критериев два из трех главных напряжений неположительны.
Подобное же рассмотрение для главных сил приводит к неравенствам
(Уд - Ч)*
(va-vb) (K-h)>-h
Vg(Vl + 3 vl)
(афЬ).
(17)
ь.
186 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. 5
В гл. 5, § 13 выводится неравенство упорядоченных сил (бэГ "ordered
forces")
(va - vb) (ta - tb) > 0 (афЬ). (18)
При соблюдении этого критерия достаточным условием выполнимости
неравенства (17) является наличие в паре (ta, ib) хотя бы одной
отрицательной величины - из трех главных сил по крайней мере две
неотрицательны.
Знаки главных напряжений и главных сил одинаковы, и поэтому всегда
реализуется или неположительность, или неотрицательность двух из трех
главных напряжений.
Итак, одновременное выполнение !В<В- и 6<f-критериев характеризует
выполнение всех неравенств (14). Обратное заключение не имеет, конечно,
места.
§11. Эмпирический критерий
Основываясь на уравнении состояния
непосредственно получаемом после замены F3 (4.2.4) с помощью тождества
Гамильтона - Кейли (1.9.22), можно неравенствам (10.14) придать вид
2
М+"8(|; + З^Н/г|А + /,^)>0 "т.д. (2)
Выполнение всех трех равенств гарантируется соблюдением условий
,4т-> 0, !г>°> + (3)
dli d/2 2 d/2 3 d/3
называемых "эмпирическими критериями". Конечно, это только достаточные,
но не необходимые условия выполнимости неравенств (10.14).
а) Для упрощенного (две постоянных) материала Синьорини по (2.12)
э={К7;[9^ + 5р-2(3^ + р)^ + (Я + р)(А)2'|; (4)
величина в квадратных скобках, равная р в натуральном состоянии, остается
положительной при р>0 и при любых /2//3. Это следует из неравенств (2.14)
и условия знакоопределенности
(9Я-(-5р) (Я-f-p) - (ЗЯ-Ьр)2 = 4р (2ЯДр) > О, 2Я-f-p > О,
§11] ЭМПИРИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ 187
так как при 2А. + р < 0 имели бы одновременно ЗА. + |Ш < 0, а ^ + р>0 для
значений v в интервале (2.16); корни 12/13 величины в скобках оказались
бы отрицательными.
Первое из условий (3) выполняется со знаком равенства. Имеем вместе с тем
по сказанному
/ 2??-д.I - = _LVr '2 д/2 ' 3 д!3 16 у 3
(Я + (i) -j 2 (ЗА, -j- р) -f- + 9Я + 2(1
/3 '3 ¦ .
- у (з +р) > О (5)
в противоречие с третьим неравенством. Это делает сомнительным
пригодность эмпирического критерия (3), но не материала Синьорини.
б) Для материала Блейтца и Ко в упрощенном варианте (6.3)
дэ v. а г дэ 1 12 ^ г\ г дэ . т дэ 1 1 г j . г\
"377 2171= Т ^ 77 ^ ' 2W7 + 3 а77 = 2+тЛ >°
- третий критерий (3) также не соблюден. Вместе с тем по (10.10) и (6.5)
условия (10.14) приводятся к неравенствам
1 , 1 ^ 2 1,1^2 112 /с,
т + ->-тВД3. - + - >-oViV2V3, - + - >TUiU2t>3. (6)
Ul V3 3 У2 v3 Ч Уз У! У
очевидно, соблюдающимся в кубе vs ;+ 1,25.
в) Малонадежны и противоречивы суждения о пригодности или
непригодности эмпирических критериев для материала Мурнагана. По (3.2)
4^==(/i-3)^+2p(/1-l) + -^/(/1-3)2+m(/12-2/1-/2)+f,
а дэ п п , г ох . дэ п
4 аТ^-Зр-j-/*(/,-3), 4а77=Т
и критерии (3) в натуральной конфигурации приводят к неравенствам
411 + > 0, 4[1 + я<0, 6р + п > 0,
или (при р>0)
Для двух сортов стали "Нес1а" по акустическим измерениям (R. Т. Smith, R.
Stern, R. W. Stephens, 1966) были получены Данные (в 1012 дин/см2)
Hecla 37 Я = 1,11+0,01, р = 0,821 ±0,005, / = -4,61+0,65, /п =-6,36+0,46,
п-=-7,08+0,32,
188 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. Я
Hecla 17 А. = 1,10^=0,01, р = 0,820+0,005, / = -3,28+0,30, т = -
5,95+0,32, п - -6,68+0,24.
По ним трудно высказать суждение о выполнении или невыполнении критериев
(3).
§ 12. Выпуклость удельной потенциальной энергии деформации
Критерий монотонности Колемана - Нолла можно связать со свойством
выпуклости удельной потенциальной энергии деформации э, как функции
инвариантов Ik (G) меры деформации Коши -Грина или Фингера.
Для разъяснения понятия выпуклости нам достаточно ограничиться
рассмотрением дважды непрерывно дифференцируемой функции JF (х)\ она
выпукла (книзу), если ее первая производная- монотонно возрастающая
функция f(x). Введя параметр тс[0, 1] и приняв
