Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(20) к значениям относительных удлинений 6. Отнеся их к объемному
расширению
?х(6)=?хх(36), Рх(6) = Рхх(36),
получаем
^*(0) =2 (/+-§-), р;х(0) = Я + Р + т-|-. (21)
Соотношения (17), (20), (21) указаны Вангом (Wang, 1965).
6 А. И. Лурье
162
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ.
§ 4. Преобразование коэффициентов уравнений состояния Синьорини и
Мурнагана
Представления удельной потенциальной энергии деформации тела Синьорини по
(2.7) при отсчетных конфигурациях v, v, связанных преобразованием подобия
(4.4.3), имеют вид
з ~-= (/з)"1/2 [щ (П + 1) -!- "С (1{2 + 3) + т3 (/; - 1) - р], (1)
3-= (/з)_1/а [^"1 С/а + 1) -|-m2 (/j2 + 3) -h m3 (?0 - р]. (2)
Здесь /* = /*(g) и инварианты Гк, Гк связываются в отличие от формул
преобразования (4.4.5) инвариантов Ik{F) соотношениями
I'l -КЧ[, ?'а-кч'а, /.; кч:
(3)
(обозначение коэффициента подобия а в (4.4) здесь заменено на К). По
(4.4.6), (1) и (2) получаем
э -= К3э, т1(1'2+\)+т2(Г1г + 3) + тя(Г1 - 1) - р--= -= т, (К*Г, +1 ) + т2
(КЧ[2 + 3) + щ (К2 К - 1) - р
(4)
и этому соотношению удовлетворяют значения mk и р, определяемые по
формулам
тл
т2 = К~*т2,
тч
К~2т3,
Р=~-Р +
1 -К*
[(/тц + 3m?) (1 + К2) - т3К2]-
При обозначениях (2.8) они приводятся к виду
(зя+р--^)(1 -/с"), р=/<">+4 (зх+р,-
1 1- к2
8 /С4
(1+К2)
г ) (1 -/С2), с-К-Ч, ЗА, + Зц) + К2 (6Х + 2ц-с)
(5)
(6)
Принято р== О, и-конфигурация натуральна; р -всестороннее растяжение
(сжатие при р<0), обеспечивающее преобразование v в и-конфигурацию.
Для материала Мурнагана аналогичное рассмотрение, проводимое по формулам
(3.2) и (4.4.5), приводит к формулам Брил-луэна (L. Brillouin, 1938)
п=К2п, т = Kziny 1 = КЧ,
I- К2 К
2]х = К |^2р -f (1 -К2) (д - 3/л % + 2р = К [Я + 2р + (1 - К2) (2т +
3/)],
- -f ? f -j-(1 - К2) (п + 9/)] [k = % + \-Ц
(7)
(8)
§ 5] ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ ДЖОНА ЮЗ
формула (8) определяет напряженное состояние всестороннего растяжения
(сжатия при р < 0) в н-конфигурации; она согласуется с (3.13), если
пренебречь в ней степенями б = /С - 1 выше второй. Обозначив через 0
относительное объемное сжатие
имеем по (8)
- 3 -- (1 - Q)-1/- ^ [1 - (1 - (c))а/-11- ^ - 4-11 - (1 _0)v*] (" + 90 У =
=?е + 1(?-/-!)е*, (Ю)
если отбросить степени выше второй. В металлических материалах при
всесторонних давлениях, не превышающих Ю4 атм, не обнаруживается
отклонений от линейной зависимости
- /7-/50. (11)
Коэффициент линейного температурного расширения а(0) определяется
уравнением
dl - 1а (0) йв
и при преобразовании подобия, осуществляемом в переходе от
изотермического состояния v к изотермическому v
?-Я7, ell - / dK =7~, у =^ = а(О)а'0,
так что
е
К = exp J а (0) Ф0, (12)
о
причем 0 -разность температур изотермических состояний v и V. Этой
формулой совместно с (5) и (7) определяется зависимость коэффициентов
тел Синьорини и Мурнагана от температуры.
При слабой зависимости от температуры и в небольшом диа-
пазоне температур
К 1 '¦/.0. (13)
§ 5. Полулинейный материал Джона
В линейной теории упругости удельная потенциальная энергия деформации э
выражается, как известно, квадратичной формой главных значений линейного
тензора деформации
з = 1 [К1\ (г) + 2и/, (е2)] - 1 [7 (е, + е2 + е3)2 + 2р (е? + е2а + е2)].
(1) 6"
1G4 уравнения СОСТОЯНИЯ нелинейного материала [гл. Г-,
Основываясь на аналогичном представлении э, но через главные
относительные удлинения 6ft, определяемые формулами (1.4.10) теории
конечных деформаций,
э -= у [Я (б, -f- 62 ф- 83)2 -)- 2ц (82 ф- б2 ф- 83)], (2)
Джон рассмотрел несколько задач о распространении колебаний в нелинейно
упругой среде. Но по (1.6.4) и (1.4.10) 8к - главные значения тензора U-
Е, поэтому
бг + бз + бз^ф-^Ми-Е), ф- 6! + 6§ -= S2 = / j ((U - Е)2) (3,
и выражение (2) представляется в виде
э -= J ksi + list ~ ХЦ (и - Е) + ц/, ((U - Е)2). (4)
Джон назвал такой материал "гармоническим", так как решение плоской
задачи при этом задании э сводится к нелинейной краевой задаче теории
гармонических функций (или функций комплексного переменного). Подходящим
наименованием, используемым далее, может служить "полулинейный материал".
Обратившись к формулам (II.3.10), (II.4.11), (1.9.6), (1.6.1), имеем
/1 (U Е) 0 =MU)g--G0 ~-n-U-1 • • (С" ф- Сп1) • VR =U_1 • VR = Ox, VR
VR
M(U-E)2)0 =Л(О)0 -2/j (U)0 - 2VR -20х Vr Vr Vr
и уравнениям состояния для тензоров Пиола и Коши придается вид
Р = э0 = (Яф-2р)Охф-2рЛ^^[(А51 -2р) U-1+2pE]-VR,
VR
Т = V G VrT'P= YV + 2pF]^
= ]/|^(/1(У)-3)Еф-2р(У-Е)]-У. (5)
Удельная потенциальная энергия деформации э полулинейного материала
представима через инварианты симметричного тензора (р.рт)'/2.
Действительно,
Р- Рт= [(ASl-2p) 0х +2pVR] • [(XSl-2p) 0Хтф-2р\^т] =
= (Is, - 2(i)2 Е ф-2(х (A.S, - 2ц) (ох • VRг + VR • 0Хт) ф- 4p2U2 =
- ('ks1 - 2р)2Е + 4(х (^sx - 2р) U + 4p2U2
ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ ДЖОНА
или
p.PT - [(As,- 2ц)Е + 2ц11]2, (Р-Рт)'/2 - (Яя,- 2ц)Е+2ци. (6)
Первые инварианты этих тензоров оказываются равными
/, ((Р-Рт)'/2) - Л (As,E + 2ц (U - Е)) --- (ЗА + 2ц) s"
