Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
/, (Р • Рт) - 3A2s? + 4(xXs1/1 (U - Е) + 4ц2/! ((U - Е)2) =
- А (3А + 4ц) s? + 4p,2s2. (7)
Отсюда получаем
h ((P-PT)v0
si - ЗА+2ц и далее по (4)
4ц2
/, (P-PT)-^l+2ff Л((Р-РТ)'Л)] (8)
э ¦=
4ц
/,(Р Рг
1 + v
Г\ "Р-Рг)'/2
" 2 (А + Ц) '
О)
. По (5) имеем также
p. .VRT = [(As, -г^и^ + гцЕ]-^. -VRT = /, ((As,- 2ц) U +
-f- 2цЕ12) = 1, ((As, + 2ц) (U - Е) + 2ц (U - Е)2-J- As,E),
так что по (4) и (8)
о
р. . VRT - (As, -Ц 2ц) s, + 2ц52 + 3As, -=¦ As, + 2ц52 + (ЗА + 2ц) s, -
= 2э + /1((Р-Рт)1/.). (10)
Теперь по (4.17.3) удельная дополнительная работа эх также оказывается
выраженной через инварианты тензора (Р'РГ)1/2
эх = з + /i ((Р-Рт)1/2)=-2- |у,(Р- Рт)-
1 +V
/2((р.рт)'/г)
+ /,((Р-РТ)'/2)- (11)
Соотношение (4.17.5) позволяет определить градиент места
о
VR. Имеем
б/, (Р- Рт) = б (Р • Рт) Р- • 6РТ + 6Р- • Рт = 2Р- • 6РТ, в/,((Р-Рт)1/.)
=
= J- (Р . рт) - ¦•/,. . 6Р . рт = I. (Р . рт) - */, . . (Р . бр г + (6Р)
• Рт) =
= -j-{(p-pt)_1/*-p- •брт + [(р.рт)-'/"]т-р- -брг)=--(р-рт)-'/2.р. -6РТ
- использовано правило дифференцирования (II.3.10) и симметричность (Р-
Рг)_,/г.
166 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ.
Сославшись на определение производной (II.2.7) по тензорному аргументу,
получаем теперь
м Р-Рт)р-2Р, /1((Р-Рт)1/2)р = (р.рт)--/2.р (12;
и по (4.17.5)
VR^(3x)p^ir|E + [2p-T^;/1((p-PT)'/2)] (P-Pr)-V'}*p- (13)
В полулинейном материале оказалась осуществимой операция обращения
уравнения состояния (5).
При деформации, не сопровождающейся поворотом главных осей меры
деформации
0 х = Е, U - VR = Vu + E, s^V-u (14)
и в полулинейном материале по (5)
о о
P = XV-uE + 2pVu. (15)
Уравнения равновесия в объеме и на поверхности (2.7.4). (2.7.5)
приобретают вид
о о о ,п
(Я + 2р,) V2u + p0k -^0, kiV-u + 2(.m-Vu^=f^-. (16)
Это--частный случай уравнений равновесия линейно упругого оо/о \
тела при Vu = VuT (или Vxu = 0j. Нелинейность задачи обусловлена правой
частью краевого условия при "немертвых" поверхностных силах.
К уравнениям (16) сводятся задачи о растяжении стержня, об
осесимметричной деформации цилиндра, о центрально-симметричной деформации
сферы.
Акустический тензор в полулинейном материале. Главные напряжения,
определяемые формулой (5), равны
; -г [(^Sj 2р) + 2рщ] и т. д.
V2V3
Отсюда получаем
/Ь=Э!+2|Л__!_
vi -vz vxv2v3 \ 14+"а /
1+ 2[1 + ^3-(ЗК+2^У 1'1+И2
и подстановки в формулы (4.12.9), (4.12.10) определяют компоненты
акустического тензора в ортонормированием триэдре глав-
§5] ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ ДЖОНА 167
ных направлений е,, е2, е3 тензора напряжений Т (или меры фингера*) F)
(А + 2ц) (v\N2 + v\N\ + vINl) 4 V%N% +
^A^-i(3Aj-2y) "д,,
' Vl + V3
Q12 = -44 b3~(f ^2fX)- N,N2 = Q21 и т. д.
При обозначениях
Aut-(ЗА-f 2ц) ^ Аг2 - (ЗА -4-2ц) _ Аи3-(3742ц) __ ^
Щ4Щ ' уз rui ' 1Т4гг
ЦЦУ, -- А, 4^2 У' 4^3 ' ^
акустический тензор Q представляется выражением Q = (А + 2ц) (х2у2z2) Е
4exCi (Су1 + Bz2) 4е2е2 (Az2 -)-Сх2) 4 4 е3е3 (Вх2 4 Ау2) - (е,е2 + е2е,)
Сху - (е2е3 4е3е2) Ауг -
- (е3е, 4 е1ез) Bzx. (17)
Для параллельного е, вектора N имеем А\ = 1, N2 = N3 = О и тензор Q
приобретает диагональный вид
'Q = (А 4 2ц) е,е, 4 [(А 4 2ц)"(4 4 4) 4 Аи3 - (3А 4 2ц)] е2е2 4
"Ь Тн-4] ^^ ^ ^езез•
Условиями его положительности являются неравенства
А 4 2ц 4 О, (А 4 2ц) (v14 4) ~Ь ^4 ^ ЗА 4 2ц,
(А4 2ц) (4 44) + ^4 > ЗА4 2ц. (18)
Конечно, приняв в (17) Л72 = 1, Лг3 = У1 = 0, получили бы еще одно
неравенство
(А 4 2ц) (4 44) 4 Ап, > ЗА 4 2ц. (19)
Неравенства (18), (19) преобразуются к виду
(1 - 2q) (4 44)494 > 1, (1- 2у)(и244) + <74 > К
(1- 2у) (444) 4 <74 > П (2°)
причем q = v/(l 4 v)> - 00 < <7 < 1/3.
Когда лишь одна компонента N обращается в нуль, например
^з = 0, тензор Q становится равным
Q = [(А 4 2ц) (х2 4 у2) 4 Су2] 4 [(А 4 2ц) (х2 + у2) 4 Сх2] е2е2 4
__________4[(А + 2ц) (х2 41/2) + (Ау2 4 Вх2)] е3е3 - (е,е2 4 е2е,) Сху.
*) Как и в представлениях (4.12.9) (4.12.10) отброшен не изменяющий знака
Q множитель У1$.
168 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. 5
Условия положительности компоненты Q33
Я-{-2р-|-В>0, А.2[д. -f- Л. > О
уже заключено в (18) и (19). Точно так же в силу этих условий оказывается
положительным и диагональный минор
[(К + 2ц) (х2 + у2) + Су2] [(Я + 2ц) (х2 + у2) + Сх2] - С2ху =
= (Я 2р) (х2 + */2)2 (^ + 2[х + С)
равно как и два других диагональных минора.
Без труда проверяется, что условия (20) гарантируют положительность
диагональных членов и диагональных миноров матрицы компонент
акустического тензора (17) при любых N (отличны от нуля х, у, г). Этим
гарантируется и положительность; как можно проверить,
det Q > 0.
Итак, доказано, что неравенства (20) -не только необходимые, но и
достаточные условия положительности акустического тензора, значит и
сильной эллиптичности полулинейного материала.
§ 6. Материал Блейтца и Ко
Опытные данные, полученные Блейтцем и Ко при измерении деформаций одного
из специальных сортов резины в широком диапазоне нагружений, оказалось
возможным аппроксимировать представлением удельной потенциальной энергии
