Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
ним слагаемое первой степени, придем к шестиконстантному выражению
э^-ph (С) + у [Я/2 (С) + 2 (X/, (С2)] +1 [V! (С) +
+ 6v2/! (С) I, (С2) +8v3/1 (С3)] - - pi, (С) -(-у (Я + 2р) 1\ (С) ¦
-2р/2 (С) + 1 (/ + 2т) П (С) -2ml, (С) /2 (С) + я/3 (С). (Г)
Здесь Я, р- постоянные Ляме второго, v,, v2, v3--третьего порядка, через
/, т, п обозначены постоянные Мурнагана, связанные с vx, v2, v3 формулами
(1.15.15).
В экспериментальных исследованиях, связанных с задачами нелинейной
акустики, накоплено значительное число данных о постоянных Ляме третьего
порядка для ряда материалов. Некоторые сведения о них были получены по
результатам статических испытаний Бриджмена при весьма высоких давлениях
(P. W. Bridgman, 1948).
После замены lk (С) через инварианты Ik (G) - Ik меры деформации Коши -
Грина формула (1) преобразуется к виду (если начальное состояние
натурально, р = 0)
Э==Т
- ЗЯ -2р + у/ +тг) h (G) +У (Я + 2р-3/-2т) I\ (G)
+ (- 2р + Зт - /2 (G) - ml, (G) /2 (G) +1 (/ + 2т) I\
(G) -
п
Ф
3]
МАТЕРИАЛ МУРНАГАНА
155
До (4.3.5) имеем Фо = а|>1 =
(/i_3) А-2р +1 / (Д-3)2 + т (/, - /2) -± (/х - 1)
Фг л
2р-фт (7Х - 3) -ф
(3)
Нетрудно проверить выполнение равенств (3.7.12), (3.7.13).
В приводимых далее формулах ограничимся удержанием слагаемых второй
степени относительно производных вектора перемещения. Имеем
F-^E + 2e(u)+VuT-Vu,
оооо tv
F2 = E + 4s (u) +4s2 (u) -f-2VuT- Vu,
MF)=3 + 20 + x.
/2(F)=3 + 4D + 2X + 2x, (5)
/3(F)-1+2D + x+2x
при обозначениях
/0 \ 0 / 0 0 \ 00 /0 \
О = 7 [е (и)) Vu, (VuT-Vu ) -2(o-(o + /l [s2J ,
x = 2/2 (e) = 02- (e (u)2) ,
I
~Чг
(F) = 1 - ¦&-к-% - и +y 02,
(6)
0 t / 0 op
8(u) = T(Vu + Vury ,
о 0
w(u) -сопутствующий кососимметричной части Vu вектор. В этом приближении
4ф0 = уя
~2п (20-Ьх+2х),
4115! = - 2р -и-ф20 (Ч -m --|-j X - т -- 2тх-ф 2/02, (7)
4ф2 = 2р -ф 2/пО -ф т% -ф - п
л
и выражение тензора напряжений может быть записано в виде
Здесь Т°
Т= (1 - 0) Т°-ф2в• Т°-фТ'.
-тензор напряжений линейной теории
о
Т° = А0Е + 2рв(и),
(8)
(9)
156
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА 1ГЛ
а через Т' обозначена совокупность слагаемых
_
"~!Г
Х% + 1Ъ2- т - т
X
Е + 2 ( т-
и \ ~2)
о
4
4-пе2 -f-pVuT
о
Vu,
(Ю)
о о
причем VuT-Vu определяется по (1.7.13). Естественно, что коэффициенты
Мурнагана входят лишь в представление Т'. Вместе с тем, ограничившись в
задании удельной потенциальной энергии (1) только квадратичными по
компонентам С слагаемыми, иначе говоря, приняв /, т, п равными нулю,
пришли бы к представлению Т, отличному от выражения линейной теории с
заменой о
е на С, как в "теле Сетха".
Коэффициенты Мурнагана второго (X, ц) и третьего (Чд, v2 v3) порядков
I =yVl +V2>
tn -
:v24-2v3, n = 4v3
указаны для различных материалов в табл. 1-3. Данные сообщил автору С. С.
Секоян.
Следующие далее в этом параграфе рассмотрения преследуют цель разъяснить
связь коэффициентов закона Мурнагана с изменением модулей X и р линейного
закона при сообщении малого возмущения в натуральной отсчетной
конфигурации.
Примем для этого, что частицам находящейся в равновесии среды в
актуальной конфигурации сообщено поле виртуальных перемещений rjw^1, q2,
qs).
Тогда по (8)
Т = (1 - Д) f° - ДТ° -Ь2е--Т° + Т' + 2e-f° (11)
и вычисление, выполняемое по формулам гл. 1, § 10, дает
О 0 .000
Т° = XV-w4-2e (w), Vw, e--=e(yv), о oo о / о о \
% = VuT- -Vw4-VwT- • Vu'-- 2/х (Vu-VwTj ,
(И2)' = 2-&V-w, [/i(e2)] ---=2/, (е-ё(ш)
ООО о
и т. д., причем здесь e = e(u), $ = V-u в отличие от e(w), о / о \
V-w = /j (VwJ .
Таблица I. СТАЛИ
МАТЕРИАЛ МУРНАГАНА 157
К
CU
S
X
с С О S ^х
сг< °0 О О"' 00 О ю о'
СО СО !-ч и
"¦О (r)х со^ o' хр (r)х ОЗ o' '-О (r)Х Tf О Z
и а О Хв
\С Tf '-.о O'- СО чОЮ 0х- '• Tf 03
О О О
и
о
со"
СГ
о"
со
03
Си
о
о
вЯ
CJ
о
О
ю
со
CJ ~
S'"
S5
;и
их
о ? оо П
03 Ef
Й °-
оз aa я Е-•
- ¦ аз
О со
а>
*
*
о
03 0 **
о ^
сз . -
ои
""" 5-s о
о LO о , га Л" ll
га I ^
5 ^ IX 5 из tp
к со Зч
03
СО
47 -н -н -н 47 -н
о LO tx оо tx о Гх о о ю - Tf fx Tf
СО '- tx О О о tx - о о О О оо о
-< о - о -ч О ~ о от 03 о -< о
1 +1 1 -н 1 4 1 4 1 1 ! -Н 1 -Н
Ю О -н о о Tf ю 47 03 о 00 со 47 - о СО 03 4 ю о
СО СО 4 03 о Ю оо 00 4 СО -' 4
S о X, 03 1 сз о I ± 03 о 1 -н 03 о 1 41 03 о 1 -н
ю о 1 ±1 03 1 03 о 1 -н 03 о 1 ±
сс о X ЕС & > 3,58 41 ю о tx. LO ~ о 1 +1 41 00 О Ю tx со о 1 41
41 Tf о со 03 Х<о 1 -Н -3,23± ±0,50 0,34± ±0,20 1 -1,6 4Ю СП
- -Ч О 1 -н 41 оо оз 03 о 1 ±
X X сс <и И Й. О 00 tx 4i оо Ю -• о оо О 47 - ю 03 о 00 О
41 о ю 03 о 00 О 4 СП ю -ч О 00 О 4 - СО tx О I 41 Tf 03 о о оо О
41 СО 03 о о 00 О
о О о 4-1 о о 47 о о 47 о о 4 о о 4
о о 41 о о 4
<< о о СП -н СП - о о 47 -ч о 47 -о - - о 4 СП *- о о
4 tx 03 00 О 1 47 <м о о -- о 4 СП 03 03 о - о
о о 47 - о 47 - о 41 - о 4 о о 4 -< о
4 - о 4
Ь t о $] * г S о 1 ю о о со оз 00 ю 03 оо со 00 ю со
о 1 со Tf tx ю оо tx
С к и, tx tx tx tx со tx tx
с; 2 03 03 03 03 03 со Tf Tf
