Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
devT
¦^sW /-f{cos W dev H
- 2 [(dev H)2 - ^-Eg2 sin со j , (18)
dev H - - * n- -J-jcos (-co + 3%) dev T +
+ 2]/|[(devT)2-|EG2]sinco} . (19)
cos 3%
Они тождественно удовлетворяются вышеприведенными соотношениями.
§ 9. Критерий монотонности напряженного состояния
Колемана - Нолла
Непрерывная функция f (х) называется монотонно возрастающей, если для
любых двух значений х, х0 переменной х в области ее определения
[/(х) - f(x0)](x - х0) > 0, хфх0. (1)
Это определение обобщается на тензорные функции тензорного аргумента: Q
(А) - монотонно возрастающая функция А, если условие
[Q (Ах) - Q (А)] - • (Ахт-Ат) > 0 (2)
выполнено для всех тензоров Ах вида
Ах = A-S, S=^E. (3)
Было предложено считать монотонность тензора Пиола Р (vr) критерием
пригодности задания определяющего уравнения
[р ( VRX) -p(vr)] - • ( VRxr- VRT) >0
4VRX = VR-S, S^=e). (4)
178 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА {ГЛ. 5
1. Покажем, однако, что при S ^0, О -ортогональный тензор, принцип
материальной индифферентности (гл. 3, § 2) ограничивает применимость
критерия (4) узким классом напряженных состояний. Действительно, согласно
этому принципу при ортогональном преобразовании по (3.2.3) и (2.7.2)
Рх = РО, Рх - Р= У J-Vrr-Т-(О-Е).
Критерий (4) представляется теперь неравенством VrT-T • (О - Е) ¦ • (0х-
Е) • VRr - Т • • (2Е - О - 0Т) =
л (Т)-iT--(0+0T)
>0
и по (1.11.10)
(0 + 0 г) = Е cos со-|- (1 - cos со) ее,
Д (Т) - Т • • (О -f Ог) = (1 - cos со) (/, (Т) - Т • ¦ ее).
Заменив здесь Т его представлением через главные напряжения и обозначив
через углы оси поворота е с главными направлениями Т, приходим к
неравенству
ста + <т2"2 + <т3аз >0, as = - sin2 ys (5)
для всех
а1 + а2 + а3=1.
Это неравенство выполняется конечно при
mincTs>0 или <у1 > 0, ст2 > 0, о3 > 0.
S
Пусть далее
mincr^ = сг3 < 0, - сг3 > 0, а2 -а3>0.
S
Тогда (5) после исключения аа приводится к виду (ст* - as) ccj + (a2 -
a3) a2 - | a31 > 0, f (au a2) =
-ai"03cc1 + ^^a2-l >0.
la3l ¦ |"3.
На плоскости alt a2 прямая a2) = 0 отсекает наосихс^, a2 отрезки
ао = _[ДИ_
CTl-CT3' ^ 02- с
§9] КРИТЕРИЙ МОНОТОННОСТИ КОЛЕМАНА - НОЛЛА 179
и область / (аи а2) > 0 расположена выше этой прямой, но обязательно в
треугольнике
О 0,5, 0^а2^0,5,
ограниченном положительными осями аг, a2 и прямой aj + a2 = 0,5. Поэтому
J-^TT < 0-5, К 1 < °,5стл + 0,5 |ст3 |, 0ft + 03>O (6=1,2).
Здесь показано, что определяемый неравенством (4) критерий применим лишь
для таких материалов, напряженное состояние в которых характеризуется
положительностью суммы любых двух главных напряжений
o'i + ct2>0, о2+а3>0, Og+a^O
о
независимо от характера деформации VR.
2. Это заставляет ограничить класс допускаемых неравенством (4)
тензоров: в предложенном Колеманом и Ноллом критерии предлагается
выбирать в качестве тензора S только чистую деформацию, иначе говоря,
требуется, чтобы S был симметричным положительным тензором
S = ST, a-S-a > 0 (6)
для любого вектора а^=0.
К (6) далее добавляется условие, что сопровождающий деформацию
ортогональный тензор тот же в актуальном и сравниваемом с ним состоянии.
Тогда
VRx = U* •() = О-Vх, Vrx = VX_10T, VrxT = О-Vх-1,
рх = у -Х О-Vx~'-Tx У 8
и критерий (4) записывается в виде
0.( YVх"-тх- |/^V_1-T j - -(Vх -V)-0T =
= ( ]/-|Х Vх-.Тх- ]/|v-1.t)..(Vx-V)>0.
Входящие в это неравенство тензоры соосны: Vх и V по условию, Т и V,
поскольку среда изотропна. Вспомнив определение главных сил (4.3.12),
имеем
eteA
S ft* 1 к *=1
180
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ. 5
и предшествующее неравенство приводится к виду
t?i ^ ^ ~ ^ № - ^ + № ~~^ ~ v*> +
~h Уз 4) (Ра уз) ^ 0, (7)
включающему рассматриваемые ниже критерии (§ 13), подтверждающие
привычные представления об изотропном упругом материале. Не следует
думать, что описание поведения материала с помощью критерия Колемана -
Нолла исчерпывается неравенством (7), так как при выводе этого
неравенства использовалось предположение о совпадении главных осей
актуальной и сравниваемой с ней деформации.
Из неравенства (7) следует, что если vk = vk хотя бы для одного k, то
хотя бы для одного п. Иначе говоря, раз-
ным vk соответствуют разные tk: vh(t1, t2, t3) - однозначные функции;
уравнения (5.3.13), определяющие tk{v^, v2, v3), однозначно обратимы при
выполнении критерия Колемана - Нолла.
В дифференциальной записи неравенства (7) учитываются лишь первые степени
разностей vf - vs - Avs. Тогда
з зз
При переходе от строгого неравенства (>) к его дифференциальной форме
следует иметь в виду, что приращение tf- ts, вычисленное с точностью до
линейных относительно Avk слагаемых может оказаться равным нулю. Поэтому
в (8) знак ">" заменен на "^".
Рассматривается также усиленный критерии монотонности, исключающий в (8)
знак равенства, - тогда матрица
I dtj_ 1
I dvk I
положительна; ее детерминант -сильвестров
з з
Z 2 -ёг Ау*> 0 (9)
s = 1 ft = 1
или, сославшись на (4.3.16),
S =1 fc=l 5 й
- симметричный тензор VVa положителен (положительны его собственные
