Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 53

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 158 >> Следующая

трехконстантным выражением
f тц(! - р)
+ а(Г
1)-3
(1)
(2)
2ц 1- 2v'
Упрощенный вариант этой зависимости, признаваемый этими авторами
приемлемым, использован в одной из работ Ноулса и Стернберга (J. К-
Knowles, Е. Sternberg, 1975) при значениях постоянных
Р = 0,
1
V = T
а = -
Выражение э в этом предположении принимает вид
?=тИ1т- + 2П.-5) (3)
444+21//>
S6]
МАТЕРИАЛ БЛЕЙТЦА И КО
169
и уравнения состояния для тензоров Пиола и Коши представляются формулами
о
VR
11 / Я
[E/1-G + (/;/z-/2)G-1].VR,
Т = р/:Г3/г[Е (/:/2-/,) + /,F-F2].
В линейном приближении, используя (3.4), (3.5), получаем
Т --- р (ЕЬ + 2е)
- это линейно упругий материал при Я=(х (v = 0,25). Главное напряжение
оказывается равным
- оу = 1 + Is3/2 [- {v\v\ + v\v% -f vlv\) -f vf (vf + v\ -f v\) - vi] =
I1
(4)
так что
1_?l
VTA'
g2 _ 1
и ~ VTA'
Получаем
VI
так что по (5) vl =
J _______ Hit f J______/ J ______________ н_з\1 1/<6
И / \ M- / \ И-
1 - 1 i1 KT3i|
r-6/2
^ '
• (5)
(6)
l_?i) i_?s
p J \ P
H3
J _____________2_S ' 1
(s= 1,2,3). (7)
Закон состояния (4) оказался обратимым. При обозначении
--3 ) =1-
/i(T) , /о (Т) /з (Т)
Г
(8)
получаем
Л (G) = D-4/6 3
2Л(Т) , /2(Т)
К (И
Г
/2 (G) = D-V^3-/3 (G) = /)-*/..
По (3) выражение э теперь представляется через инварианты тензора
напряжений Коши
/1 (Т)
Э = тр
5 (Z5-1/-- 1) - D-
(9)
[70 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. г,
Имеем также
Р - • VRT = VhU (Т) = D-V./x (Т)
и выражение удельной дополнительной работы (4.17.3) приводится к виду
(Ю)
- у Р [5 (1 - ?>- V.) + 3D-'/./г (Т)].
Здесь оказывается возможным обратить уравнение состояния (4) выразить F
через Т
S- 1
= D-V
S= 1
1- os/p
-еяе, 1
=D-4/'
ИЛИ
F = D-4A
= - 5p,(D'^)T. (11)
Последнее равенство - следствие соотношения (8) и формул
дифференцирования II, § 3
_|lDr = E(l-^ + ^) + i:T(l-M2)+L;=.FCV.. (12)
Формула обращения оказалась достаточно сложной -в ней D следует заменить
по (8).
Обратимся еще к построению акустического тензора Q для материала Блейтца
и Ко. Используется формула (4.11.16). По (4.3.5), (4.5.5), отбросив
положительный множитель ц, имеем
>0= 2Г3( ^2 + ^з ), ' ^2== "2"77'
^°о=2Г^2+^/2). $ю = ~2~Г ' $02 = 27-,
$,
$22 = $12 = О
11 " 21"
и подстановка в (4.11.16) дает
4/,Q = 3/2NN-21, (NF-N + N- FN) + 2 (NF2-N + N• F2N) +
+ N • FF - N -f- (/jE - F) N-F-N -EN-F2-N. (13)
§6]
МАТЕРИАЛ БЛЕЙТЦА И КО 171
Через главные значения и главные направления F тензору Q придается вид
з
Q = ? (2Щ + М*)Щ- + (Cle2 + e2ei) (V + АЛ NхNf +
7Т\ Vs t Vl V2 j
+ (e2e3 + e3e2) (~ + -V) N2N3 + (e3ex + exe3) ("A + Дг) У3Л4. 04)
\ "2 t'3 / \ t'3 V! j
При обозначении es = vse's приходим к представлению, полученному Ноулсом
и Стернбергом
з
Q = ^ (2У2 + ^2) eses + (ел -f- e2ej) (~ 4~ ~
S- 1 * " -
+ (е2ез + е;е;) (^2- + -^ j+ (ел + е;ез) ^ + . (15)
В работе Ноулса и Стернберга доказано, что матрица тензора Q
удовлетворяет всем условиям теоремы Сильвестра при всех N для
деформированных состояний, в которых
2-КЗ< ?<2+КЗ. (16)
vi
В этой области деформирований материал - сильно эллиптический.
Не лишено интереса рассмотрение другого варианта материала Блейтца и Ко,
соответствующего заданию (3=1 в (1)
Тензоры Пиола и Коши для этого "гипотетического" материала представляются
выражениями
Р = э0 =p(vR-/3-"VrT), Т = р/з 1/г (F - Е/^") (18)
VR
и в линейном приближении приводят к уравнениям состояния линейной теории
°s ~ ^ + 2рл, s= 1,2,3. (19)
По (4.3.5) и (4.5.5) неравными нулю оказываются лишь
^о=- jVsa, ^1 = 4^' ^oo=-jFa/3_"
и по (4.11.16) представлению акустического тензора придается вид
Q=j|i[EN.F-N + (2a+l)/,-"NN]. (20)
172 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. 5
При -1/2<а<оо, что соответствует -oo<v<l/2, det Q удовлетворяет всем
условиям теоремы Сильвестра для всех N и всех положительных тензоров F-
при любых деформациях; система уравнений для "гипотетического" материала
- сильно эллиптическая.
§ 7. Энергия изменения объема и изменения формы
В. А. Пальмову (1976) принадлежит обобщение известного в линейной теории
представления удельной потенциальной энергии суммой двух слагаемых,
определяющих энергию изменения объема и "формоизменения".
Исходной предпосылкой, определившей успех этого предложения, послужила
замена мер, деформации Коши -Грина и Фингера мерами
G+ = /3-V3G, F+ = /-^F (/3 = /3(G) = /,(F)). (1)
Главные значения этих тензоров в соответствии с этим определением равны
Gk = Ft = It'/sGk = It'uFk {Gk = Fk - vl, k=\, 2, 3) (2)
и поэтому их третий инвариант оказывается равным 1 - они
"нечувствительны" к изменению объема
/3 (G+) = /3 (F+) = GiGtGt = (/3 ,/з)3 GjG2G3 = 1. (.:•)
Аналогичные соотношения для меры Альманзи g и меры G-' представляются
выражениями
g+ = /;/3g, (G-i)+ = /,3/*G-i = (/i)-*/.G-1, /i=/,(g) = /,-K (4)
Удельная потенциальная энергия деформации э далее представляется суммой
энергии изменения объема эг и энергии формоизменения э,,
э=э, + эп, 3j = э,(|/73)> 3" = sn(/i(F+), /2(F+)). (5)
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed