Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
теории, например, конечность силы, создающей разрыв образца (бесконечное
возрастание одного из главных удлинений), необходимость приложения
нормальных усилий для осуществления деформации простого сдвига. При малых
градиентах вектора перемещения количественные результаты не могут
значительно отличаться от предсказаний линейной теории, но квазилинейный
закон не налагает ограничений на перемещения и повороты, поэтому
допускает рассмотрение недоступных линейной теории явлений.
Синьорини (Signorini, 1943-48) предложил закон квадратичной зависимости
тензора напряжений Т от меры деформации Альманзи, согласованный со
структурой определяющего уравнения (4.3.7)
т = (т^г -f- пцГ* + та![ + m4) Е - (m-J[ + тв) g -f m,g2. (3)
Здесь Ik~lk(g). Постоянные mk определяются требованием существования
потенциала э, иначе говоря, их выбор подчинен условиям (4.3.8). Они
приводят к уравнениям
^77 = - 7 №т' = ~ 7 (/^"3/2
д/20/3 4 2
д^э 1 1
^7^ = -j[(m5-m7) /( + m6]^ --(/')-3/2 (2m27 + m3)
(третье тождественно выполняется). Получаем
т7 - 2т1, m5 = 2m1Jr4m2, тъ = 2т3.
Число коэффициентов уменьшено до четырех
т== + + т31[ + тА) Е-[(2m1+4m2) /;+2m3]g+2m1g2. (4)
152
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ.
Выражение удельной потенциальной энергии приобретает вид
э--= (/J)-1/. (ш1/2 + т2/;2 + т3/; + т4) -f const.
В отсчетной конфигурации (g - Е, 1[~- /4 -_3, /3 ^ 1)
- рЕ, -р - тг - 3/n2 + т,3 + mi и формулы (4), (5) заменяются
представлениями
Т = [ р (/2 -J- 1) -\-mi (/х -у 3) -)- тя (/4 1)] Е
- [(2т1 + 4т2) 1[ 4-2m3]g + 2m4 э - (/з)"1/2 Иг (/; + 1) + тг (/[2 4 3) +
тя (/; - 1) - рJ •
(5)
(3)
(7)
Число постоянных снижается до трех, если неискаженное отсчетное состояние
-натуральное (р -0).
После перехода от меры к тензору деформации Альманзи А и его инвариантам,
обозначаемым jk~- Ik(A), и введения с целью приблизиться к обозначениям
линейной теории новых постоянных
4т1 = с, 4m2^-5-(^4-р --|-J , 4mi + 12т2 + 2тз "= В + j получаем по
(1.7.21)
+ с/г 4''о' ( ^ + В К ) /1
Е+2
р
А -У 2сА2
э- ]/-| [с/2 +у (я + р-у) /;24-
+ ( В + ¦9-) (1 /О
р
(9)
(10)
Отсчетная конфигурация (в ней А--0) - натуральная, а аддитивная
постоянная в (10) выбрана так, что в ней э- 0.
Закон Синьорини - общее и единственно правильное представление
соотношения, определяющего квадратичную зависимость компонент тензора
напряжений от компонент деформации в гп-перупругом изотропном теле. В
"упрощенном квазилинейно.! законе" Синьорини с--0
7-К + у (7- + р) ji Е + 2 [р - (К -f р) /;] А.
(11)
Вхождение подчеркнутых слагаемых, отличающих его от закона Сетха (1),
обеспечивает существование потенциала э. Его выражение, если вернуться к
инвариантам /*(g) меры Альманзи,
§21
ТЕЛО СЕТХА. ТЕЛО СИНЬОРИНИ 153
р упрощенном законе записывается в виде
8э У о" = 9А-|-5р - 2 (ЗА-f-p)/i-f-(А-)-р)/i -8р У 13 =
= 4 Р [(П + 3) п~ 18 Vn] + (9А + 5р) (41[ - 1 )\ (12)
Далее находятся достаточные условия положительности э. Величина в
квадратных скобках положительна. Действительно, можно усилить неравенство
/2
1'ъ - g,g"g* < зТ tel + g* + g3)3 --ff .
отбросив в его правой части
4г=Ш2 Vfin+zy-n'Vi-З)2]
отрицательное слагаемое. Поэтому
7з<27^т2/Г(/1 + 3)2, (71 + 3)/; -181/71 > О (13)
и пй (12) искомые условия приводятся к виду
Р>0, 9А-ф5р>0 (а>- у р) • (14)
Необходимость первого условия следует из (12) для деформации, в которой
7( = 3.
Область допустимых параметров А, р в линейно упругом теле
р > 0, ЗА-ф2р>0 (15)
шире, чем в теле Синьорини. Это следует объяснить тем, что неравенства
(15) должны обеспечивать положительность э лишь при малых деформациях.
Введя в рассмотрение величину
1 7
2 A-l-p '
называемую в линейной теории коэффициентом Пуассона, можно неравенства
(14) и (15) для тела Синьорини и для линейно упругого тела записать еще в
виде
р > О, -|-<v<7; 9>°> -Kv<i (16)
Замечание. В работах Н. В. Зволинского и П. М. Риза (1939) предложен
квадратичный закон состояния, включающий пять констант
^ Ь + ( В -ф А ) /\ (С 4* ЗА ) /2
-ф [2р' -ф (С -ф А - 2р') )х] A + (D + 5p ) А2.
154 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. 5
Его можно согласовать с законом Синьорини (9), определив В, С, D через Я,
р, с равенствами
- 4) > С = - с - ЗЯ, D = 2c - 5р;
2 4 2 .
Я' = Я, р' = р.
§ 3. Материал Мурнагана
Представление удельной потенциальной энергии деформации полиномом по
степеням компонент тензора деформации Коши - Грина с постоянными
коэффициентами, подлежащими экспериментальному определению, было
использовано в многочисленных исследованиях Мурнагана (F. D. Murnaghan),
содержание которых воспроизведено в его монографии 1954 г.
Отправным является задание удельной потенциальной энергии деформации э,
обеспечивающее включение в уравнение состояния всех слагаемых второй
степени относительно градиента перемещения Vu. Если ограничиться
изотропными материалами, то выражение э следует задать скалярными
структурами (1.15.16), (1.15.14) второй и третьей степени. Присоединив к
