Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Тензор напряжений определяется по (4.3.2)
Т = 2ЦЧгэт • F = 2Г3и (э,)Р • F + 2/~v* (sn)F • F = Т, +Т". (6)
По правилам дифференцирования в II, §§ 2, 3 имеем
з, {VTJ? = j (VT3) /^f-1
и первое слагаемое в (6) оказывается равным
T, = sJ(K7;)E. (7)
$7]
ЭНЕРГИЯ ИЗМЕНЕНИЯ ОБЪЕМА И ИЗМЕНЕНИЯ ФОРМЫ
173
Более громоздко вычисление Тп. Имеем
(3h)f = <|
дэи
d/Д F + )
¦A(F+);
дап
d/2(F + )J d/2 (F + )
- использовано правило (II.4.12). По (II.4.9), (II.4.18) имеем также
1 rVipp-im-Vsj.
(F+)f = (F/rv*)F = - -j /r'^FF-1 + /Г'3у (C" + Cin)
и теперь T"
1 / Г ^п . 1 / /р+\
[,-Х73 /я lr 1<5/2(F+)
dsn
dan
dsn
dsn
dls(
или no (1) T"=2/3-1/3{
dh( F + ) 1 дэ"
/i(F+)
a/*(F+).
/i(F)E + T
<Эз>ц
3 d/2(F + )
F+F
7X (F+ • F) E
a/j(F+)
da
dJ2( F+)
f+-4e/1(f-<
дэи
a/*(F+)
При аналогичных (4.3.5) обозначениях
F + 2 -у Е/
i(F+2)]}.
dan
^ = а7прй-
h (F+)
дэ
дэп
(8)
d/a(F+)' a/2 (f+)
и вспомнив определение девиатора тензора в I, § 13, получаем
Т"= 211'/2 dev (4i1+F+ + 4)+F+2). (9)
Тензор напряжений Коши оказался представленным суммой шарового и
девиаторного слагаемых
T = 9'i(V/;)Е + 2 |/|dev№F++^F+2). (10)
Аналогично представление через измененную меру Альманзи
Т = а((/7])Е+2 )/|-dev0K+g++iK+g+*), (11)
причем подобно (4.3.8)
(Ээт
dh (gn
h (g+)
da I
a/*(g+)
d/2(g + ) '
(12)
Для задания 5П может быть использовано выражение, линейное относительно
/х (F+), /2(F+)
aII = C1/1(F+) + C2/2(F+) (Сх>0, С2>0),
(13)
174 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. 5
подобное потенциалу Муни для несжимаемой среды [см. гл. 7, § 2]. Тогда
Т" = 2 )/ldev{[C1 + C2/1(F+)]F + -C2F^. (14)
Приемлемой аппроксимацией может служить выражение
3, {VT3) - - k (1 n Vh - J/Ts + 1), (15)
так что
Tj = - к(1з'!2 - l) Е, /, (Т)^-3/г(/з,/1- 1),
<7 = 4 (Т) = -^е=^,
ч !>о
где д -среднее нормальное напряжение.
§ 8. Тригонометрическое представление уравнения состояния
Следуя I, § 13 представим тензор напряжений Коши Т его разбиением на
шаровую и девиаторную части
з
T = 4/1(T)E + devT = 4/1(T)E + ?as'eIes (1)
S= 1
- через сг' обозначены главные значения dev Т. Деформированное состояние
задается соосным с Т тензором логарифмической меры деформации Н.
Аналогично (1) имеем
з
Н = ~ Д (Н) Е + dev Н = | Д (Н) + X fases. (2)
S= 1
Здесь h's - главные значения devH. По (1.13.10) можно представить их
формулами
hi= |/-f-sinT, /ь=]/-§- Sin(\l3 + -y-j,
)/ f sin(Yp4=-); |ф|<?, (3)
причем по (1.13.4), (1.13.5)
2 3
4/2 (dev Н) = 4 № -Kf + (h2 -h3Y + (A, -h,Y]
. gj ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 175
- использованы формулы (1.6.11). По определению девиатора
К - = К - у /, (Н) = In vs - Д- In ViV-Ps, h^-^ln-, h'2 - In -,
/i'r=i-ln- . (5)
1 3 p2d3 3 3 3 vxv2 4 '
Следствием (3) и (5) являются соотношения
sin\[) = -77==- 1и " > cos 'ФIn (6)
V 3g2 V-2P3 V gi
3
- второе получено по выражению h'2 после замены
2л \ 1 . . . V 3 ,
sin ( ф -)-у ) = 2 simp 4 - cos ф.
Формулами (6) определяется ф. Другое определение следует из (1.13.5),
(1.13.9)
& = - (т) '* sin3ip=4/,(devH). (7)
В применении к dev Т записи формул в I, § 13 приводятся к виду ___
___________________
= Ysin г' °2 V"Т sin (х + 1Г) '
Оз= У-Ts[n (7 -Ьх) ' U|<J, (8)
G2 = - 4/2 (dev Т) - у [{о1 - о2)2 + (а, - а3)2 + (а3 - ах)2], (9)
CTi = y (2ах - а2 - а3), а2 = у (2сг2 -Од -с^),
а3 = у (2а3-cTj-а2), (10)
а аналогом формул (6) и (7) являются соотношения
sinx = y==-(2a1 -аа - or,), cosx = -^=- (a"-a3), (11)
G3 = - ('У')3/г s^n 8x = 4/3 (dev T). (12)
По (6) и (11) имеем теперь
V g2G2coscD = (a2 - О'з) ln-y + y (20-!-ст2-ст3)1п-Г, (13)
^3 J У2и3
К3gaG, sin со = (2ax - a2 - or,) In ^ - (a, - ct3) In . 1 (14)
Здесь
<в = Х - Ф
176
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. П
- введенная соотношением (II.9.6) фаза подобия девиаторов тензора
напряжений Коши и меры деформации Генки.
Возвращаясь к соотношениям (4.3.16), (4.3.12), имеем теперь
бэ = X + (Н) X ак 4 =
к= 1 /. - 1 к
= емн) о-А.б1пу/г -e'i <н> ^
/г=1
/г=1
а после выделения шаровых и девиаторных слагаемых тензоров Т и Н
з
'бА'н46/1 (Н)]
о
8э = еМН)? [аИ4/1(Т)
1 L
*=1
3
= д. (Н) 2 сДб/4 + {<н> /, (Т) б/, (Н), *=1
так как
|ст[ = о, ?8/4 = 0.
/е=1 Ar= 1
ГТо (3) и аналогичному представлению о'к имеем fa
'E*a'k8h'k = -
k=\
з
sin % cos Ф + sin 4 +4) cos 4 + 4) +
+ sin f% +4) cos 4+4 '
бф +
sin%sinT +
+ sin(x+4)sin 4 + 4) +sin 4 + 4) sin 4 + 4
61+g2
и после очевидных упрощений з
? CftSAft = 4-(1+ Яг sin собгр Д- cos об Нёг)
(15)
Вариации удельной потенциальной энергии, рассматриваемой здесь как
функция задающих меру Генки величин, теперь придается вид
8э = б'ИмН), ф, 1/^) = еМн> [1/1(Т)б/1(Н) +
+ !К02(К&зто>бф + со8а>бК&) . (16)
§9] КРИТЕРИЙ МОНОТОННОСТИ КОЛЕМАНЛ - НОЛЛА 177
Приходим к соотношению связи инвариантных величин, определяющих тензоры Т
и Н
г = | /, (Т) <">, -gp = j *'•(Н) sin со,
е1' <н) cos м. (17)
д!л (Н) 3м' ' Эф 2
дэ
д f g2 2
По (II.9.4) и (II.9.12) определяющему уравнению devT него обращению
придается вид
