Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
аГ+у'йГ>0 или лГ+ ~тдг лГ > 0> vi^vk' '
СПх 0/2 О/х ViVfc 0'2 (11)
г, ^ = 1,2, 3.
Аналогичное вычисление по (4.3.13) для неравенств (7) приводит их к видам
(/х - t2) (Их - и2) = 2 (Ух - И2)2 [-Щ + № - VlV2) _ -L /3 ^
=2(Ух - у2)
_ ' ( т дэ . , дэ ViV2 \ 2 д12 х 3 д!3
>0. (12)
Очевидно, что неравенства (11) и (12) подтверждаются эмпирическими
критериями (11.3); обратное, конечно, не имеет места--критерии (11.3)
отнюдь не следуют из 33?- и 0|Г-неравенств. Напомним (гл. 5, § 10), что
одновременное выполнение этих неравенств гарантирует справедливость
неравенств (10.14).
4. Как пример S'^-неравенств рассмотрим случай всестороннего
растяжения или сжатия: - v$ -- vf -- Vх. Если неискажен-
ная конфигурация - натуральная (р - 0, /--=0, У-1), то по (1) и (2)
pxgx > о, /х§х > 0 (бх==ух_1)
- растягивающие напряжения (силы) увеличивают, сжимающие - уменьшают
линейные размеры.
Но если искаженное состояние ненатуральное, то неравенства
(рх-р) (ох-о) >0, (tx-t) (vx-v) > 0
§ 13]
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
193
неэквивалентны. Действительно,
(tX - 0 (уХ - v) = (vx - V) (yxVX - Vйр) ¦-
: (уХ - V)
= (vx-v) (рХ - р)
VX (рХ p)+p(VX - Д2)]:
Ух +
(,рх-р)'
(рх - р) (Vх - у) (уХ + V)
(j0X Р) (Vх -V) :
¦ (tXV2 foX*) :
(13)
л>х'
(Ух-У) (/х-/)
(уХ - у) [(/х - /) у2 - / (уХ2 _ j _ t
(гх-/):
(/х -/) (ух - v) (ух-)-у)
При растяжении (р > 0) второе равенство (13) - следствие первого, в
состоянии сжатия первое -следствие второго.
7
А. И. Лурье
Г л а в а 6
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ
§ 1. Аффинное преобразование отсчетной конфигурации
В гл. 4, § 15 было приведено доказательство теоремы Эриксена о
несуществовании универсальных, иначе говоря, сохраняющих форму при любом
задании удельной потенциальной энергии деформации 9(/j, /2, /3) решений
задач нелинейной теории упругости для сжимаемой среды при преобразовании
отсчетной конфигурации в актуальную, отличном от аффинного.
В этой главе повсюду, если не оговорено противное, предполагается
отсутствие массовых сил; напряженное состояние создается поверхностными
силами. Постоянный тензор напряжений Т при этом условии определяется
уравнением состояния (4.3.4), главные силы и главные напряжения равны
t,
дэ
dv,
V/:
t, 2 ]' I.
vs
дэ
(s-1,2,3),
+ Yh (s= 1,2,3).
(2)
Простейшее аффинное преобразование -преобразование подобия. Для него
R = /Сг, VR = /Сг% = /СЕ, F - /С2Е, vs-^v^=K (s - 1,2, 3)
и, приняв получаем
э(щ, о2, va) = f(v),
дэ
gv - / (v) - + ^2 ~Ь " 3/, t - ч / (у) .
(3)
(4)
(5)
Согласно (2), в состоянии всестороннего сжатия зависимость давления (р =
-а^, s- 1,2,3) от плотности определяется соотношением
~Р = ШГ (") = -
.р! - f I (2i PodP V V р
(6)
ОДНООСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ СТЕРЖНЯ
195
Примерами аффинного преобразования служат задачи об одноосном растяжении
(гл. 6, §§2-3), простом (§ 4) и чистом (§ 5)
сдвиге.
§ 2. Одноосное растяжение стержня
Ось растягиваемого призматического стержня совмещается с осью ОХ; тогда
ст2-а3 = 0. Главные значения меры Фингера обозначаются у2, а2о2, а2и2; ее
инвариантны равны
/х = (1 +2a2)i>2, /2 = (2 4-a2)a2i>\ 73=a4A (1)
По (1.2) имеем
(2)
ay = 2v
дэ
1 дэ 9дэ а 2 дэ vW dh ^ d/2 + д!з
и2 dh
+ (l-ba2)
дэ
Ж
-02a2
дэ
d/а
: 2уф (а2, у2) = 0. (3)
В отсчетной натуральной конфигурации F = E, w = l, a2= 1; в ее
окрестности
ф(а2, и2) = [(сс2- О S + (°2- 1) S
F = E
(4)
По (3), сославшись на (4.7.12), (4.7.13), имеем
дг|)' да? 1т=е '
дэ
д/2
дэ
д!я
+ 2
Л2а Я2 а
?± + U4(1+a.)*^ + l,.aS^ +
д11 dh dh
+ 2у2 (1 + a2) ^ + 2a2(1 + a2) ys ^ + 2 wa-
ds
1 2
дэ
Ж -f 2
Ac oA
d/j 1 d/2
t>= 1
a= 1
dl-i
4(p + A) (5)
и аналогичное вычисление дает
§ЗА"А+ЗД- (*)
По (4) получаем теперь
ф (а2, и2) = 1 [ (ЗХ + 2ц) А - 1) + 2 (X + ц) (а2 - 1)] + . . . (7)
В линейном приближении, обозначив б,, 62 продольное и поперечное
относительные удлинения, имеем
v2 = 1 +261; aV-l+262
и по (7)
(ЗЯ,+2ц) бх -ф2 (Я-ф ц) (б2 - б,,) 4- . . . - 0, ~ ~ пж 7 .,; = v (8)
этим определяется коэффициент Пуассона в линейной теории.
196
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. Г,
Поскольку можно, сославшись на теорему о не-
явных функциях, утверждать, что по крайней мере в окрестности
натурального состояния уравнение (3) однозначно разрешимо относительно
а2; подстановка этого значения a2 (у2) в (2) приводит к выражению щ (у)-
диаграмме растяжения образца.
Применение критерия монотонности (5.10.13) приводит к более общему
заключению. Полагая у2 = у3=у, имеем
дэ (гд, у2, Уз)
9V3 JV2 = V а = В
Это уравнение разрешимо относительно у при условии
d_t2
dv
d23(vt, v2, v3) д2э(э1, v2, v3)
dv2
dv3 dv2
Ф0.
= 0. (9)
(10)
По теореме Сильвестра в применении к детерминанту матрицы (5.10.13) имеем
Л!?Л = >0,
dv2 Jv2-v3 = v \ dl'3 J v2 = v3 = v
д2э д2э dv\ dv\
дЪ
dv2dv3
V 2 = V'l - V
д2э ^ 2 dv\
д2э
dv2dv3
>0.
Из этих неравенств имеем
а 2 ^ OV 2
д2э
dv"dv3
>0,
откуда следует, что при любом знаке смешанной производной
