Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
1, 2)
определяющими плоскую деформацию призматического тела; с-1, если
предотвращено смещение его торцов в продольном направлении. Материальными
координатами служат декартовы координаты а1, а2, а3 отсчетной
конфигурации; градиент места равен
Мера деформации Коши G и ее компоненты определяются формулами
Компоненты тензора искажений U = G'/2 определяются системой Уравнений
р = 1: s' + (1 - v) s = 0
(21)
ха = ха (а1, а2), х3 = саъ,
'(1)
(2)
о
G = VR • VRT
G23 = G31 = 0, G33 = c2.
U U G3 UayUур ioJfs Ga(3iaip i3i3c ,
Gu + t/i2 = Gu, G^2i + и\г- G22>
Gi2 (Gn +1/22) = G12, US3 = c, GSa = 0.
(4)
Инварианты меры Коши оказываются равными
/, (G) = det G = с2 (GnGM-GU),
216
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
причем Gj, G2, с2 -главные значения G. Принимается обозначение
(6)
r r г r г г* - ( ^х1 д*2 дх1 дх2 \ 2
U-UiU2-UnU22-U12- ^2 g^j >
-те дх1 дхг дх1 дх2
Vg
с У G -определитель преобразования (1). Теперь имеем
(Uu + п22)2 - {VG[ +УGDa - а, + g2+2 у ад =
/' ах1 \ 2 дх2
I аНг+аН2 у +
дх1 За1 ба2
При обозначении
<7 =
возвращаясь к уравнениям (4), получаем
/ дх1 . дх1 \2 . / дхг дх1
(7)
ji,ii if 1 / дх1 дх1 ,дх2 дх2
11+ и_ 12 -7 1'9оГЭо2' Эа2'^5'^ '
Ml G 221
U11 ^22 + <?2)-
^22 =
Ut1-Ul2 = q(U11-U2i) = G1
дх1 / дх1 , дх2 \ . дх2 / дх2 дх1 ^
ЛД iaoT + aS2"J + аЩ [даг~Ш*;
~дх2 / йх1 бх2 \ дх1 / дх1
_ да2 V да1 + да2 ) да2 \ да2 "
(8)
дх2
'да!
Эти формулы подсказывают целесообразность ввести в рассмотрение
подстановки
I [дх1 . дх2 C0S X - q (ч да1 + аа2
1 / дх2 дх1
(9)
позволяющие представить формулы (8) и выражение тензора U в виде
дх1 . дх2 .
^-cosx + ^mx,
ах1 . , ах2
-a^sinX+7?cosb
,, дх1 дхг . дх1
и 12 a^C0S + ^2-sin ^ sin X
U
U 22
ах2
^rcos3C>
(10)
и =
ах°
piaip +ci3i3 =- (Up cos x - is X iaip sin x) -jj + ci3i3
Угол x естественно связывается с ортогональным тензором поворота 0х,
сопровождающим деформацию. По (1.6.8) и (1.3.3)
gj ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА 217
имеем
0x = UVrT
дха
(Уз c°s % - hX Уз sin x) -JJ + ci3i3
. . даУ
-f- U3) =
c /
,. . ...... дха da(r) , . .
= (iaie cos x -13 x iai6 sin x) + I3I3 =
= (ij " cos x- h X У e sin x) + i3i3,
так что
0х = E2 cos% - i3 X E2 sin x + *3*3 + 00
Дальнейшее рассмотрение можно упростить введением комплексных обозначений
(черточкой над буквой обозначается переход^ сопряженным величинам)
J^a^ + ta2, z = x1 + u2,
так что
д _ д. _д_ д .(д д да1 д1'
2 д_ = _д . _д_
~ да1 да2
Получаем по (9), (6)
да* 1 \dZ д?
д? да1
да2
0 дг дх1 , дх2
~Щ ~~даУ^~да*
-и(
tft дг дг
Vg =
да1 да2 I
дг дг
ас Э? ас
(12)
?=2
дг - 9 -i t dz дг V/* el'x- 92 dz
dZ \dZ ас/ ' dZ
-1 e2t-x = ii/4i. (13)
dZ I dZ v ;
2. Представление тензора Пиола для полулинейного материала. Уравнения
равновесия. По (5.5.5), учитывая (8), имеем
P=[4<7 + c-3)-2p]Ox + 2pVR =
= [Ч? + с - 3) - 2р] (Е2 cos х - i3 X Е2 sin х) +
дх(r)
+ 2piaip-^r + i3i3p33; (14)
p33 = l(q + c - 3) + 2р(с- 1), р3
¦ 0.
В рассмотрение вводятся представления компонент ра(r), подобные формулам
Колосова - Мусхелишвили линейной теории
р1 + ip12 = ф (q) О* + 2pi - ,
. дг
pn-ipn-.
dz
= Ф(<7)е -2р^г
(15)
i. -
218 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
причем
ф (q) = {I + 2р) (q - 2) -f- 2(х + А, (с - 1)=-=
= (Я + 2р) (16)
Уравнения статики при отсутствии массовых сил
др11 др21 п др12 др22 _ " Зр23
За1 да2 ' да1 За2 ' За3
теперь преобразуются к виду
(рп +1>") + i _оL (/?22 _ ifl) = (q) eix +
+ 2pi I --^-Д-_------------------|
d2z 32г
да1 За2 За2 да' j '
так что
3
-=- гр (<7) е1% = 0, р33-=р33(аг, а2). (17)
Первое соотношение содержит основной результат -выражение гр ((7) etx
представляет функцию комплексного переменного *, обозначаемую далее
ф(<7)е'* = Ф'(а ^ = (18)
Это и дало основание назвать "полулинейный" материал "гармоническим"
(John, 1960).
3. Краевая задача. Связь между функциями z (?, ?) и Ф' (?)
устанавливается соотношением
Q дг __ Ф' (g) 1 - v(c-1) Ф' (?) ,л,
"3? K + 2Vl'T 1-v |Ф'(?)Г 1
следующим из формул (12), (16).
Уравнения равновесия на боковой поверхности призматического тела
записываются в виде
idO = n-Pdo, h^- = n1p11 + ntpil, f2^- = ihp21 + n2p22-
Здесь flt f2 - проекции поверхностной силы на оси а1, а2; конечно, в
плоской задаче fa - 0 на боковой поверхности. Введя комплексные векторы
г . .? г . . da2 . da1 . dt
h + th = f, 'ч+"1. = я=-аг-'-*=-'-&.
где ds -элемент дуги контура I поперечного сечения в отсчегнои
конфигурации, и обратившись к (15), (18), получим
,? dO . г dS r 0 dz /901
г
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
219
Через d.S обозначается элемент дуги контура L, в который обращается в
актуальной конфигурации контур /; очевидно, что
dO^dScda3, do - dsda3.
Главный вектор V поверхностных сил на дуге ЛйоМ теперь определяется
равенством
S м м
icV = UdS= S Ф'(?)^? -2|a J dz--=
Sq Mq
= Ф(д-Ф(У-2р[га, S)-z(S0, У]. (21)
При действии равномерно распределенного по боковой поверхности давления р
на I
Тензор напряжений Коши Т по (2.7.3), учитывая обозначение (6),
