Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
определения сдвига.
По (5.8.17) имеем теперь
^W = °' MH,cos^ ? = (8)
откуда следует
дэ* ,г- . дэ'х . п дэх дэх п /п.
-г-т=г К П2 sinib-f-д-т-cos ф = 0 или -----------==¦-5-:-------- =
0 (9)
dVg2 Y a in Vgi aincosib w
и общее решение этого уравнения в частных производных первого порядка
представляется функцией
ax = f(Vg2 cosij>) = / (in =ф . (10)
204
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
Вместе с тем по (8) и (6) йэх = те7> <н> (cos tyd У g2 - У g2 simp d\p) -
xe'i (H) d Уg2 cos ф =
Отношение vjv3 можно выразить через меру сдвига. Получаем
Использование этого соотношения предполагает знание э как функции ^(Н),
УУъ, ф, тогда как э обычно задается через инварианты тензора F или через
его главные значения.
По определению главных сил и по заданию главных напряжений
Из первого и второго соотношений снова получаем (10)
При задании э через инварианты Ik (F) уравнения (14) приводятся к виду
Вычисления, диктуемые этими формулами,-представления vv Vf, vs через т,-
доводимы до конечных соотношений лишь при
те7* (H)d In -= те7" <н
t)3 v2 v3
так что
(И)
(12)
GS |(^2^2 Vata) 2т (13)
и no (4.3.16)
дэ
dvj
и из третьего (11) и (12)
(17)
(18)
(19)
§ 5] ЧИСТЫЙ сдвиг 205
особо "удачных" заданиях зависимостей э от инвариантов. В общем случае
возможно лишь построение формул, описывающих "эффекты второго порядка"
для достаточно малых т. Они исчерпывающим образом представлены Трусделлом
и Муном (С. Trues-dell, Н. Moon, 1974).
Материал Синьорини. Удельная потенциальная энергия, задаваемая выражением
(5.11.4), не зависит ст и по (17) в задаче о чистом сдвиге
'¦* - /2 = 3ф!, /3=-5гт-- (2°)
J. 2 i 2 ' * Ы Ml о а г И
Соотношение (18) приводится к виду
(>. + р)^)3+2(3), + р)^--3(9?, + 5р) = 0.
Это уравнение имеет корень /2//3 = 3, второй -отрицательный должен быть
отброшен. По (20) получаем
^ = 0, -L + 4 = 2, (21)
V% v3
так что > 1, < 1 по (7). По (19), (20) и (21) получаем
те-
перь
2т 1 1 /. Т \-'/а / , Т \-1/г /ооч
"*=(¦-it) ¦ 1И1+Тг) <22>
и формула связи касательного напряженного т со сдвигом в упрощенном
варианте (с = 0) тела Синьорини повторяет соотношение линейной теории
т=ру, (23)
но, конечно, у отнюдь не должно быть малым.
Эта же зависимость имеет место в материале Блейтца и Ко. Для него по
(5.6.5)
= 1-7'=ai^' 1+7Г = '^' Т=^- (24)
у I з М- М- гз
В задаче о простом сдвиге по (5.11.4), (4.3) и (4.5) для материала
Синьорини
a=yjTS2 + -^-(^ + p) s4, |x(ss) = |x + -^-(^ + |x)s!! (25)
и по (4.7) напряжения определяются по формулам *п = /""=_[4Я_ (*, + ,*)
s2]^,
<26)
<"" = - [4 (I + 2ц) + 3 (I + ц) s2] -i-, *12 = р (s2) s.
206 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
§ 6. Полулинейный материал. Задачи Ляме для цилиндра и сферы
При аффинном преобразовании отсчетной конфигурации в актуальную тензор
напряжений постоянен и представим в единой для всех материалов форме
записи уравнения состояния. Явное задание его коэффициентов или
представление удельной потенциальной энергии через инварианты деформации
требовалось на этапе количественного разыскания связей между деформациями
и напряжениями в конкретном материале.
При преобразованиях, отличных от аффинного, уравнения статики уже
неотделимы от задания материала его определяющим уравнением. Единый
доступный прием -построение решений, близких к решениям линейной теории и
обращающихся в них при удержании лишь слагаемых первой степени
относительно компонент градиента вектора перемещения. Это не исключает
возможности для некоторых материалов и частных предположений о характере
деформации продвижения вперед, когда уравнения равновесия в перемещениях
или применение вариационных принципов допускают сведение" задачи к
системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
К числу таких "доступных" материалов принадлежит "полулинейный" (гл. 5, §
5); особенно ценным оказывается свойство обратимости его уравнения
состояния с помощью принципа стационарности дополнительной работы.
Задачи, относящиеся к полулинейному материалу, рассмотрены в §§ 6-8.
1. Осесимметричная деформация круглого полого цилиндра. Поверхностное
нагружение^осуществляется равномерно распределенными по внутренней*'и
наружной поверхностям цилиндра (r = r0, г = г1) давлениями рй, рг.
Материальными координатами служат цилиндрические г, <р, г в отсчетной
конфигурации. Для принятых условий нагружения следует принять1 радиальное
перемещение зависящим только от г, а осевое - линейной функцией с. Место
точки в актуальной конфигурации определяется выражением
R = erf (г) -f-kaz.
По формулам III, § 7, в частности, (III.7.17), имеем
(1)
Ri = e/(r), ^2-=еф/(г), R3 = ak;
ri = г1 = ег, г2 = геф, г2 = , r3 = r3=k,
о
VR = riRJf = ere/ (г) + yf{r) ефеф + кка = VRT,
(3)
G = F = ererf'* (г) Д ефеф-^1-fkka2.
16]
ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ. ЗАДАЧИ ЛЯМЕ
207
Тензоры G и F соосны, и для полулинейного материала уравнения равновесия
в объеме и на поверхности по (5.5.16) приводятся к виду
/' " ( dO '
о-о ° J v do
