Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 63

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 158 >> Следующая

dO
V2u--=0, herV ¦ u -j- 2per- Vu так как
o>
I.
P^r
do
r = r
r = rt,
(4)
f = erp0 при r = r0;
f = - erp1 при
¦гл.
Понадобятся представления физических компонент тензора напряжения Т через
его контравариантные компоненты, а также формулы связи последних с
компонентами тензора Пиола при преобразовании (1). Имеем
Т = RjRK11 + R2RК22 -f R3R3P3 = егег/'2^11 +
+ ефеф/2/22 + kkocT33 = aRtReR -f афефф -f сх2егег
(недиагональные элементы в рассматриваемых здесь задачах, согласно (3),
отсутствуют). Но направления единичных векторов при преобразованиях (2)
сохраняются: ей=ег, еф = еф, к = е2. Поэтому
ок=ГгР\ 0ф-/2Н2, (т2 = а!Р. (5)
Теперь по (2.7.3) и (5.5.5)
Т= ]/-§- VRt-[X(V-R-3) Е +2р (VR - Е)] =
= lk{ [Л +7 + а)-(3A+2^) [f'^r +т-ефеф + акк)-{-
+ 2р (7'2егег + -^- ефеф + а2кк j | ,
так что
а 0Ф:
а/
1
('а г
TJ
о
^ - (ЗЯ -j-2р.)
^ (V + ~~+ а^)+2р-(ЗЯ + 2р) Я (/' + у- + а) + 2ра - (ЗЯ -f 2р.)
(6)
о о
Но Vr=E, V2r = V-Vr=0 и поэтому
V2u = V2R = V2 (erf (г) + kaz) = er ( f + -f ^-
= 0,
f' + l = 2C1, f = Cxr + ~
(7)
208
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. Г,
и выражения компонент тензора напряжений приводятся к виду
az - -pj[X (2С1 Да) Д 2ра- (ЗА Д 2р)].
Из последнего выражения находим выражение продольной силы Q, которую
следует приложить к торцам стержня, чтобы осуществлялось рассматриваемое
равновесное состояние
Два других следуют из краевых условий (4) на цилиндри-
k(2C1 + a)+2ii(^C1~^ = ~p1 ^С1 + ^а + ЗЯ + 2ц. (И)
Краевое условие на торце удовлетворено интегрально, в "смысле Сен-
Венана". Этим приходится ограничиваться и в линейной теории.
Для цилиндра, расположенного между двумя неподвижными гладкими плитами,
а= 1 (длина неизменна). Приняв, что внутреннее давление отсутствует (р0 -
0, р1 = р), получим
Таково выражение внутреннего радиуса сжатого наружным давлением цилиндра.
Сохранив лишь первую степень малой величины р'(2р), придем к выражению
классической задачи Ляме
(Сй + СУ/Да
1
A (2Ci Дя) Д2р (ЗАд2р) ,
A(2Cj Да) Д2р + у (ЗАД2р) , (8)
Q = 2я ^ azR dR = 2л ^ azf (г) f (г) dr
= я (г\ - ) [А. (2Сг Д а) Д 2ра - (ЗА. Д 2р)]. Это - одно из уравнений
для трех констант СД С2, а
A (2Cj Да) Д 2ра - --гГ Д ЗА Д 2р.
л Vi -гй)
(9)
" dO / (/•)
UPPKHY TTHRP П YHflPTfl Y ()HM РР.ПИ VUPPTK UTD -------------------------
----------------- - Cl, -¦ v ' ПП11-
(13)
§ б! ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ. ЗАДАЧИ ЛЯМЕ 209
2. Радиально симметричная деформация полой сферы. Нагружение
осуществляется равномерно распределенными давлениями р0, рг по внутренней
г = г0 и наружной г - гг поверхностям сферы. Материальными служат
сферические координаты г, Ф, К частицы в отсчетной натуральной
конфигурации; сферические координаты при радиально симметричной
деформации в актуальной конфигурации обозначаются R = f(r), 0 = {}, А=Я.
Векторные базисы в отсчетной и актуальной конфигурациях определяются
формулами
г = гег: г,^=ег, гг = ге$, r3= re>. sin ft;
г1 = ег, г2^, г--^-
г ' г sin O' '
R = f(r)er\R1 = f'(r)er, R2 = /(r)e#, R3 = f (r) e* sin ft;
W = f'(r)er, R2 = 777Г, R3
/(/-)' / (r) sin ft '
так что
VR = efе/ (г) + (е#ей + e^i) -^- = efе/ +E -^=VRT,
G=F = erer(r-il) + Eii.
о о 0 00 00
Вспомнив, что здесь VR = VRT, V2R = V-VRT= VV-R, имеем
V.R = /' + 2f, V2R=er(/'+21)'
и из уравнения равновесия (5.5.16) в объеме получаем
f{r) = cs + -r§-. (14)
На поверхностях г = const
Xe,V.(R-r)+2|ier-V(R -г)= Г (ЗА + 2jx) (с, - 1)-4ц-^§-ML - 3L -(г
do г* ~ ( 1 + /-3 у ¦
Постоянные гп с2 определяются краевыми условиями
г = (ЗХ + 2р) (с, ~ 1) - 4р == - (с, + -^f-Y р0,
г О \ Го J
г = гг: (ЗЛ + 2|г) (г, - 1) - 4р = ^ +-%-)' Pi
¦"Уравнения для clt с2 нелинейны.
(15)
210 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
Рассмотрим случай шаровой полости в неограниченной упругой среде; одна из
постоянных в (14) определяется условием равенства нулю радиального
перемещения при г -оо
(R-r)r.
(Cl-l)r +
= 0,
Постоянная с2 теперь представляется корнями квадратного уравнения
4У_2(^_1)4 /'0 1 V Ро 1 Л
..3 1 -1". У 7Г+1 = 0, (16)
вещественными при рй < р; они оказываются равными
4р ___2 L
Ро 4 р 1
С2_\ __ 2р / __ л/ , ?ъ_ \ , ?о_
rl)3~ рЛ У Р / 4р
(17)
Давление, распределенное по поверхности г=const, по (15) определяется
выражением (k = rl:rs)
р-=4р-дй(1-| ~k\ - р0 ,
Г\ '/ / \ (18)
D=\+l(k^X){\±y \
Сохранив верхний знак перед радикалом, в линейном приближении (р0/р = 0)
получили бы неприемлемый результат [р -
= Ро т 1 взяв нижнии знак, придем к известному в линеинои Г о /
3
теории закону убывания давления р = р0~рз- Радиальное смеще-щение частицы
среды следует определить поэтому выражением
2р (j j _ Ро
Ро V У Р
4хГ+... (19)

- первое слагаемое справа представляет решение линейной теории. § 7.
Круглая мембрана
Уравнения статики для тензора Пиола, представленного через физические
компоненты в цилиндрических координатах
Р = огегег + стфефеф + о2кк + тГфегеф + тфгефег +
+ ТфгСф к тгфкеф -j- т^кс,. -j- тггсГк) (^)
§7] КРУГЛАЯ МЕМБРАНА 211
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed