Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 56

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 158 >> Следующая

значения).
§ ю] КРИТЕРИЙ РОСТА МОЩНОСТИ Jgl
3. В линейно упругом теле напряженное состояние сравнивается с
натуральным (когда оно отсутствует)
VR = Е, p(vr) = P(E) = 0, VRx = E + e=ES, S = E + e,
причем е -линейный тензор деформации, S = ST при малом е -положительный
тензор. Тензор Пиола в линейной теории неотличим от тензора напряжений Т.
Неравенство (4) по (4.7.2) приводится к виду
Р (Е + е) • • е = Т (Е + в) • • е = е • • Та • • е =
= е • • [ЯЕЕ -f- р (С]]* + Cjл)] • • е -= XII (в) -f- 2р/1 (е2) =
= (Я + 2р) (е2 + ег + ез) +2Я (е]б2 -Ке2ез + e3ei) ^ 0 (11)
и выражает положительность (удвоенной) удельной потенциальной энергии э
линейно упругого тела. Определитель матрицы коэффициентов этой
квадратичной формы и его диагональные миноры равны
4р2 (ЗА + 2р), А + 2р, 4р(Я + р) и условия теоремы Сильвестра
удовлетворяются неравенствами р > 0, А, + р > 0, Я + 2р>0, ЗЯ + 2р>0.
Второе и третье неравенства - следствия первого и четвертого,
так как 3^ + 2р + р -= 3 (А + р), ЗА + 2р + 4р = 3 (А + 2р). Два
неравенства
р>0, ЗХ + 2р>0 (12)
- не только достаточные, но и необходимые условия выполне-
ния критерия (4) в линейно упругом теле. Конечно, критерий (10) приводит
к этим же условиям.
§ 10. Критерий роста мощности
При более общем, чем в § 9, задании сравниваемой с актуальной
конфигурации следует ожидать обнаружения свойств материала, не
содержащихся в критерии (9.7).
Примем
S = E+tD, D = Dr, Vrx = VR + tVR-D,
VRxt_vrt = tD-VRt. (1)
Здесь т - параметр настолько малый, что S остается положительным
тензором. Критерию (9.4) придается вид
О Г/0 0 \ "/ 0 \Л "ЧТ"
T[f М-/(0)] = td-vrt..Lp(vr+tVr-dJ-p(4vrJJ >0. (2)
182 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. 5
Величина
f(0) = D-VR*.-P(VR)^ l/ - D¦ VRT• • VrT• T = l/^-D--T (3)
' § 'о
пропорциональна мощности напряжений в актуальной конфигурации, /(т) - в
сравниваемой с ней. В линейном по т приближении
p(vR+tVR-d) = p(vr)+tp(vr)0 •• D VRT. (4)
VR
Неравенство (2) после деления на т2 и перехода к пределу т->-0 принимает
вид квадратичной формы шести переменных
Dmn ~ Dпт
/' (0) = D• VRT• • Р0 • D VRT>0. (5)
VR
Заменив здесь Р0 его представлением (4.9.11) и выразив в нем Р VR
через Т, получим
]/-§-/' (0) = D • • (ТЕ + R Д Rs) • • D +
+ D • • [тР • • (Rtrs + rsR*) (г'г* ¦ • D • VRT )].
После преобразования
(Rtrs~hrsRt) r*rs- D- VRT =
= (Rtrs + rsRt) gtmRmrs ¦ ¦ D = (F • R-ERW + r.Fr*) • ¦ D
неравенство (5) оказывается возможным записать в виде
0) = D--В--D>0, (6)
причем тензор четвертого ранга В оказывается равным
B = TE + R/TR* + Tf ¦ (F-R'-'ER. + ^Fr*). (7)
Имеем
D- • ТЕ¦ ¦ D = /j (D'T) /j (D),
D • • RДR* • D = DmsDs<tRmR9- • T = Д (D2 • T).
Далее, TF заменяется компонентным представлением, так что
D- -T^R^R^R*- ¦(F-R'"ERm + r,Fr*)- D =
= Dpqx"P°t (DsmF • • RtR" + DtmF • • R,R") =
= 2Dp9DaatxP**F--RtR*
L
§ 10.1 КРИТЕРИЙ РОСТА мощности 183
- использовано правило переставимости x<tPst = xPQts и симметричность D.
Неравенство (6) приведено к виду
= 4 [/г (D) /, (D • Т) - Ix (D2 • Т)] + х"р-" DpqDsmgmnGni > 0
с заменой ^ на > для усиленного критерия.
В ортонормированном базисе главных направлений тензоров Т и F
TV F V 2 т" / m==n'
F = /j vseses4, gan= \ n
s = i s - i \ 0, тфп,
( 1, n = t, 3 3 ()
Gnt ) П n -A- t ^ ^ ^ ^Safis^m
^ U, n=f=t, s = l m=l
и поэтому
3 3 3 3
/1(D)/i(D-T)-/1(D2-T)= S D** S 2 or, 2 Df* =
Ass 1 s= 1 s= 1 A- 1
= (tf 1 + tf2) (DuDa, - Dfa) + (a2 + CT3) (D22D33 - D|3) +
+ (tf3 + tfi) (D"Dn - Ни)-
Во вторую группу в (7) войдут слагаемые, соответствующие неравным нулю
12-компонентам (4.8.9), (4.8.10) тензора упругостей TF
%D'^+D'Mvi^r+vi^)+
+ Р.А, (V, $ + *%) + D"D" (vl |T+ ":^f) +
+ П12Ц=Ц (Vj + Vt) + Dl (vl + vt) + Dl (vl + Vl).
Vl V% У2' -V3 ^3 -
Квадратичная форма (6) шести переменных
ОSS ¦ %S> S 1,2,3, Х4 = ^12" -^5 = ^23" = 0.1
it
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. 5
теперь может быть записана в виде
Id- в-• d =
*sys + Лт*2
S = 1
dvs -|- хгхъ
+ х3х1
+ х!
+ ХI
до2
1 д 2 dv 1
дая
dv\
да2
dvt
+ +°а)
dv-, *
+ "o' (а2 + аз)
+
' , tJcjj " да3 1 , ,
уз уг + yi ~ТТ + "о" (аз + ^i)
ovs avi z
gl -g2
2 2 t>l -1>2
(Vi + t"l) - -к-К + а2)
+
<72- (7з 2 2 , ^2 - ^3
l(vl + vj)-T(o2+o3)
+ xe
0Я-012(1>з2 + ^)-4
(CTg +0^
(9)
В. этой записи главные напряжения заменим далее главными силами
2_й?2. = _1 а /2 _ i / i
1 2 1 дгд Р3Р1 2 V Рз 5^1 2
.л двг , 1 I п Ч _ I (dh ди
Ul^f + U2^r+2-( ,+ 2) 2^3 Ui + <b2/
1 д2э , / е д2з
= Yi^>
vs dvi dv2 V G 1 2 dvx dv2 '
= jLii_=±
1 Hr)? 2 1 дгц t)2c>3 2 V G 1 dp2
и т. д. При обозначениях
**=1//"'§"ил (s = 1,2,3),
1 <10)
^i==-i-!(yf+v!)-TrK+tf2) и т- Д-
Vi -v%
приходим к рассмотрению квадратичной формы
з з
Ф = x'sx'k~Y ^1X4 + Аьх1-\- Аех2в. (11)
z s=i*=1
КРИТЕРИЙ РОСТА МОЩНОСТИ
185
Образующая ее матрица имеет структуру
д"э
дгз
db
dv\ dvi dv2 dvx dv3
db db db
dv2 диг dvi dv2 dv3
db db db
dv3 dvx dv3 dv2 dvi
О
О
Аг
(12)
и условие положительной знакоопределенности формы (10), т. е. усиленный
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed