Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
х(т) = х0 + т(х1 - х0), (1)
по (9.1) имеем
[/ (*") -f (*о)][* (т)- Х0]=' Х(Х1~Х0) [/ (х (т)) - /(*")] > 0,
= ТАГ(л:' - *•> "f (т" ' {2}
Из этих равенств следует
(*' т) ^ ^ _ j^o) = 1 [/ (х (т)) - f (*")] (х (т) -х0) (3)
и интегрирование по т позволяет представить выпуклую функ-
цию через монотонно возрастающую производную
1
F(Xi)- F(*o)- f (х0) (х, -x0) = ^[f(x(T)) - f(xe)](x(T:)-xa). (4)
о
Для функции тензорного аргумента этому определению сопоставляется
соотношение
э (vRx) -э (vr) - Р (vr) • • (vrtX - VRT) =
= j 7 [p ( YR (T)) -P (vr)] ¦ • [vRT (T)-Vr]> 0, (5)
о
причем здесь по (1)
О О /О о \
VR(t) = VR + t(4VRX-VrJ, (6)
§ 12] ВЫПУКЛОСТЬ УДЕЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 189
а условию хх - х0 > 0, входившему в определение монотонно воз-
о о
растающей функции, сопоставляется требование VRX = VR-S, S = ST -
положительный тензор.
о о
Поменяв в (5) VR и VRX местами, по (5) получим
s(?r)-3 (vrx) > p(vRx). .(VRT-VRTX) (7)
и сложение неравенств (5) и (7) приводит к первоначальной формулировке
(9.4) критерия монотонности.
/о о
Если отсчетная конфигурация натуральна yVR -Е, VRX = S то по (5)
з (S) > з (Е) (8)
- в натуральном состоянии удельная потенциальная энергия минимальна. Это
уже было выражено неравенством (10.13), определяющим выпуклость дважды
дифференцируемой функции.
Еще одно представление критерия монотонности можно получить,
заменив в (9.4) тензор Пиола его выражением через удель-
ную потенциальную энергию деформации s(vr).
Следуя (10.1), полагаем
VRX VR-S - VR-(E + r]D).
причем т) - малый параметр. Сославшись теперь на разложение
э yVR-f-riVR-Dj = э yVRy -)-э0 ••rjD-VRT-|-
VR
+ |VD-VRT--a0 0 • D • VRT -f ... - a (vr) -j-
VR VR
+ T]VRT P. D + ^ tfD VRT PQ ¦ • D • VRr + . . ., (9)
VR
получим ранее известное соотношение (10.3)
d (0 0
A-^vr + ^vr.d
0 стг - - VRr • V - Vr ' T D
T|=0 r g
= /ЛТ-D). (10)
Вместе с тем
_ 7 0 \ / ° 0 л / о \ о
Р VVRxJ -р( VR + 'nVR.D/)^Pl4VRj + r]D-VRT--P0
VR
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ.
так что по (9)
[р (#RX) - р (vr)]. (vRxr_ vrO}
Г| = О
d*_
dr)2
э ( VR -J- t)FR -d)
T| = 0
Критерий монотонности (9.4) представляется неравенством
§ 13. Дополнительные неравенства нелинейной теории
Выводы, получаемые из рассмотрения условий эллиптичности уравнений
равновесия (гл. 4 § 12) и монотонности напряженного состояния, позволяют
сформулировать некоторые частные критерии ("дополнительные неравенства"),
согласуемые с ожидаемыми свойствами напряженного состояния в упругой
изотропной среде.
1. S'S-, -неравенства (tension-extension, extension-tension).
Пусть два из трех главных удлинений сохраняют в сравниваемом состоянию
значения, которые они имели в актуальном состоянии. По (9.7) приходим к
^^-неравенствам для главных сил
Такие же неравенства выполняются для главных напряжений
Первая система уравнений однозначно разрешима относительно
- (vf - Vi) > 0 (г -=1.2,3, vr-=vf, j=?i). (1)
так как в сравниваемом состоянии v$ -а2, v$ - v3.
В неравенствах (1) и (2)
^ = v2, и,), <!s~-os(vu vit v3) (s -1,2,3). (3)
vk ^vk(tu t2, t3), так как по (5.9.10) отличен от нуля ее якобиан
(4)
§ 13] ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ]9]
Это позволяет заменить (1) SJT-неравенствами
(t?-tt)W-vt)> О, /=1,2,3; = i?=i. (5)
Но нет оснований утверждать, что вторая система уравнений (3) также
разрешима относительно vk. Например, уравнение состояния упругой жидкости
(3.8.3)
может быть разрешено относительно произведения v-,v2v3, но не каждого из
vk по отдельности. Иначе -с главными силами
/, = О, &=1 VT3f(VT3), (tj2t3y/>=/9f iVT3).
vl ul
Из последнего уравнения Y/3 определяется через произведение это позволяет
определить гу формулами вида
vt t t-= 1,2,3. (6)
Ч
2. Уже упомянутое в § 10 беТ-неравенство упорядоченных сил
Vi ~ h) (vi - Vk) > 0. Vi Ф vk, f = 1,2,3, (7)
выражает привычное представление, что большей силе соответствует большая
деформация. Его вывод основан на рассмотрении сравниваемого состояния, в
котором
or=-u" v3, v$ = vu (8)
и на соотношениях (4.3.13), согласно которым
Д-=/(о 1, vt, v3), Y = v2, v3, i'!) = /*.
Теперь неравенствам (5) может быть придан вид
(t2 ty (о, Oj) 0, 1>1 Ф v2
и аналогично получаются два других 6!Г-неравенства. Остается проверить,
что преобразование перестановки индексов (8) не нарушает условия (9.6)
вывода неравенства (9.7). Действительно, о о
VR* = 0-Vx = VR.S = 0-V-S, V~lVx = S,
Но здесь
Vх = е1е1о2 + е2е2и3 + еде^,
S = e1eI? + e,eg-^ + e,e,-?- = V><.V-1 = S*
v3
И S = §г - положительный тензор, что и требуется.
192 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [Гл. 5
3. В параллель с 61"-неравенствами приводятся ЗЭс^-неравен-ства
(4.12.12)
(а,. - ок) (у,. - vk) > 0, i, ? = 1,2,3, (9)
следующие из условий сильной эллиптичности уравнений теории упругости. Их
представления в виде
Щ=%>0, ^Г>о, -^г>о (10,
V\-Vi V1-V3 1>з- 01
можно выразить, основываясь на уравнениях состояния (4.3,9), также в
форме
дэ " дэ . п дэ . /3 . п .
