Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
соотношение
При s=#= 0 необходимым и достаточным условием равенства •^11 = ^22
является ^12 = 0.
В упругой жидкости /12 = 0 и равенство соблюдается, но в твердом упругом
теле наличие сдвига неизбежно создает касательное напряжение t12 и
сопровождается неравенством t22 -
явление, необъяснимое линейной теорией (эффект пропорционален s2).
Осуществление простого сдвига требует приложения нормальных напряжений по
всем граням параллелепипеда, в их числе напряжения t33, нормального
плоскости сдвига. Эти напряжения, пропорциональные s2, непредсказуемы
линейной теорией; не учитываемые этой теорией слагаемые t12 имеют порядок
не ниже s3. Универсальное свойство деформируемого твердого тела,
выраженное соотношением (8), представляет отмеченное Пойнтин-гом явление,
необъяснимое в линейной теории.
Среднее нормальное напряжение также пропорционально по крайней мере s2
Кельвин предвидел, что оно должно быть отлично от нуля.
Вектор нормали в актуальной конфигурации N по (1.8.8) представляется
формулой
N = (n-G-1-!!)-1/2 Vr-n - (1 - 2snyti" + n2s2)-1/2 (n - i2HjS), (10)
f" = f + 2s2-^, *"-=/, t33 = t ф2-щ s2,
K2=p(s2)s, t*" = tn = 0.
(7)
(8)
так как
G"1 = VrT • Vr = E - (i1i2 + ijij) s + KKs2, n-G_1-n= 1 - 2s"1n2-f nfs2.
I
§4] ПРОСТОП СДВИГ 201
Вычисляемое по (2.2.6) нормальное напряжение на любой площадке
оказывается равным
aN = N -Т- N =
= / -I- 2(1-2зд + n\s2) -1 (2,hn2s^-ri& + nb9 -jjQ • (П)
В частности, на гранях п - + Ч (иначе говоря, АВ', DC')
"'¦-4te+(2+s>)S;+(1 + s4] (12>
и, конечно, при n = i2, n -i3 нормальные напряжения равны t22, t33.
Вектор касательного напряжения tn определяется по (2.2.7)
tn = N-T - N<tn = 2(1 - 2sh1h2 + s2"?)-3/2 j(l - 2sh1m24-
+ *4)
(n1i2 + n2i1)s^i +
- [/iiii + (n2 -MU + ^si*] (2niw2S-?-"i2s2-?+"32s2^)} . (13)
kssss
Конечно, обнаруживается отсутствие касательных напряжений на площадках n
= i3. При n = ix, n^=i2 получаем
4=(1+s2)-3/2(i2 + iiS)sp(s2), |Tll| = -^r, (И)
Tj2 = ixS[A (s2).
Одному из главных направлений е3 = i3 тензора Т соответствует главное
напряжение t33 = o3; два других направления получаем, приравняв нулю
правую часть (13) (при п3 = 0, Tn • ix = 0, tn • i2 = = 0). Приходим к
двум уравнениям
И;..;: rt2 + "iK + "2s) 4s - 2д2) = 0, l+n.2(n1s - 2n2) = 0, (15)
в которых п1, п% - проекции на оси i1; i2 одного из главных направлений
ех или е2 тензора напряжений Т
ех: "^cosa, n2 = sina; е2: пг = - sina, л2^= cosa.
По второму уравнению (15) находим
202
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
причем, конечно, удовлетворено и первое. Можно принять л/4 < < а < я/2
при е = 1 и Зя/4 < а < я при е = - 1. Получаем .
s2 + 4 -s \'/г 2 / '
ei = sina = (_S2 + iy/,| (16)
1 \ 2 s- о- 4 /
1 2 8 = -1, n = e2: е2 = - sin a, е2 - cos а.
Главные напряжения ах, а2 находим подстановкой этих выражений в (11).
§ 5. Чистый сдвиг
В задаче о "чистом сдвиге" осуществляется напряженное состояние
Т= (U3 + U2) И Т = Const >0, (1)
а разыскивается преобразование отсчетной конфигурации в актуальную, иначе
говоря, главные значения vf, v\, меры Фингера F. Конечно, эта задача,
связанная с обращением уравнения состояния материала, значительно
сложнее, чем "простой сдвиг".
актуальной конфигурации рассматривается кубик, нормали к граням которого
образуют ортонормированный триэдр направлений ej, е2, е3; напряженное
состояние в нем задается тензором
Т=т(е2е2-е3е3) (2)
- растягивающие напряжения т-по направлениям е2, сжимающие этой же
абсолютной величины - по е3. В системе осей
К - е1> *2 ^ у-^ (е2 + ез) > is = у?} (е2 ез) (3)
(i2, i3 направлены по диагоналям поперечного сечения кубика) напряженное
состояние представляет как раз чистый сдвиг (1). Главные напряжения и
инварианты Т равны
с?! = 0, о2 = т, а3 = - т;
МТ) = 0, /2 (Т) = •- т2, /3(Т)=0.
Тензор Т равен своему девиатору и по (1.13.5), (5.8.9), (5.8.Ш G2 = 4t2,
х = 0, G3 = 0. (4i
В отсчетной натуральной конфигурации кубик представлял параллелепипед с
ребрами op1, цр1, цр1. В плоскости сдвига е2,
1, п =
1
е, = cos а --
§5] чистый сдвиг 203
е3 его поперечное сечение -прямоугольник с ребрами up1, и/1; угол между
его диагоналями 2а определяется формулами
V2 V2 V*
cos а = г~о" у cos 2а = 2 cos2 а- 1 = Чп-г .
V vi+vl
Мерой сдвига по гл. 1, § 4 следует считать разность косинусов углов 2а в
отсчетной и л/2 в актуальной конфигурациях
i 1+Y
1 -У
(5)
В рассмотрение вводится логарифмическая мера деформации Н и ее девиатор.
По формулам (гл. 5, § 8)
1 vi
со = - ф, sin со = - sin тЬ -== In ,
, № (6.
cos со ¦= cos ф = -In - ,
V gt
причем gs определяется по (5.8.4).
Предполагая выполнимость для рассматриваемого материала '-критерия
(5.13.9) и учитывая, что знак разности положительных чисел совпадает со
знаком логарифма их отношения, имеем
К -О In-7--= - т1п7Г > °- (ст2-а3)1п^- = 2т1п > 0,
V<2 U2 ^3 Vl
(а3-Oi) In - = - xln - > 0,
х 3 1; Vl Vx 9
так что для такого материала
V2 > У1 > г 0 < у < 1. (7)
Угол а не может превосхотч'- 45°, что впрочем следует и из
