Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
h tx и tx
-¦ J (6R)'- vdt- 6R-y | - J v- 6R dt = - j* b- SRdt,
to
так что
ц о
б '\^Xdt = - p0b-6Rcfo. (7)
to to v
Вычисление вариации функционала W сводится к преобразованиям, проведенным
уже в § 16.
Поскольку на о1 задана сила f°, а на о2 - вектор места R, получаем
-№ = jjf (v.P + p0k)-6Rdn + jj (f° -n-P)-6Rcfo, (8)
V Ot
причем в ходе вывода использовалось уравнение состояния
Р = (э)о • (9)
VR
Условию (6) теперь придается вид
t\ г / 0 \
бSP = ^dt J'jf (- p0b + VP + pok)-6Rdi> + ff (f0 - n• P)• 6Rdo
to L " 0,
= 0 (10)
и хорошо 'известное рассуждение приводит к ожидаемым уравнениям движения
и краевым условиям о
в v: VP-j-p0k = р0Ь; на ох: n-P = f°, (Ш
причем, подчеркиваем, тензор Пиола Р определен здесь по (9).
Выполнение кинематического краевого условия на о2 предусмотрено в самом
задании функционала of, входящий в него
ПРИНЦИП ГЛМИЛЬТОНЛ - ОСТРОГРЛДСКОГО 149
вектор R должен удовлетворять этому условию. Это предусмот-оено в
словесной формулировке принципа (говорится о допускаемых связями
движениях).
Обратив ход вывода, несложно от уравнений (11) прийти к принципу
стационарности действия. Формальное преобразование позволяет представить
уравнения (11) в форме
в V: V.T + pk = pb; на О,: N-T = f°^ = f. (12)
Известно, что разность 3*C - W называется лагранжианом системы , так что
t\
$ = (13)
t о
и запись (10) можно представить в виде
t\
^ Ы? dt = \ dt ^ $ (- pb -f V • Т + pk) dV -f
U U т
-fJJ (f-N-T)-'6RdO = 0. (14)
o2
Замечание. В записи потенциальной энергии W предполагалось, что
поверхностные силы "мертвые", значит потенциальные. Можно отказаться от
этого предположения, задав выражение их элементарной работы в виде
6M(e)=$$f.6Rdo (15)
о,
отдельно и исключив соответствующее слагаемое из представления (3).
Определив ба^х, как и ранее 8S7 по (10), но с так измененным W, получим
О г 0 \
№x = ^dt {- p0b f VP p0k) • 6Rcfa - $ ^ n-P- SR do ,
/" L V ot
так что
о
6^х + $6М(в)сИ = 0.
to
Можно назвать это соотношение принципом Гамильтона -Остро-^Радского, но
без эпитета вариационный, так как здесь нет Функционала, стационарность
которого рассматривается.
Г л а в а 5
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНО УПРУГОГО МАТЕРИАЛА
§ 1. О выборе уравнения состояния изотропного упругого тела
Квадратичный закон состояния (4.3.4) упругого, изотропного, однородного
материала конкретизируется априорным заданием явного выражения удельной
потенциальной энергии деформации э, как функции инвариантов меры
деформации, либо представлением через них самих коэффициентов фг (h, 72>
h) этого закона, совместимым с существованием э (для гиперупругого тела).
Рассмотрение простейших деформаций (всестороннее сжатие, растяжение,
кручение), допускающих сравнение с опытом, дает основание для суждения о
пригодности или непригодности предложенных представлений э (или фг) для
рассматриваемого материала.
Выбор варианта оправдывается степенью его близости к уравнению состояния
линейно упругого тела. Например, заданию э в линейной теории квадратичной
формой компонент градиента перемещения Vu с постоянными коэффициентами
сопоставляется задание, приводящее к учету в уравнении состояния хотя бы
квадратичных по Vu слагаемых. Другой прием основан на удержании величин
этого порядка в самих уравнениях состояния, сохраняющих при этом свою
инвариантную запись. Еще один критерий состоит в сравнительной
доступности последующего математического рассмотрения. Наконец, в
отступление от подходов механики сплошной среды привлекают к построению
определяющих уравнений статистические представления; предложенные
соотношения корректируют и дополняют экспериментальной проверкой.
Нет недостатка в критических высказываниях, относящихся к описанным
приемам. Например, "природа не отдает предпочтения представлениям
функциональных соотношений степенными рядами" (Трусделл); "там где не
хватает идей, им на смену приходят слова - простота, доступность"
(Ривлин).
Успеха в рассмотрении этой "главной неразрешенной задачи механики
сплошной среды" (Трусделл) надеются достигнуть, постулируя достаточно
общие требования к математической структуре задания определяющего
уравнения, которые позволили бы отбраковывать или признавать приемлемым
предложенный вариант. Об этом см. §§ 9-13.
§23
тело сетха. тело синьоринй
151
§ 2. Тело Сетха. Тело Синьорини
Казалось бы, что очевидной и простейшей попыткой описать поведение
материала при больших деформациях может служить предложенная Сетхом
(Seth, 1935) замена в законе Гука линейной теории линейного тензора
деформации е тензором конечной реформации, например, тензором (1.7.8)
Альманзи А или соответствующей ему мерой g
Т = Я,Е/Х (А) + 2рА = 1 (ЗА, + 2р) Е - 4 (XI г (g) Е + pg). (1)
Сравнение с (4.3.7) дает
[ЗА+гц-р/Ле)], = | / |р, ф; = о. (2)
Условия интегрируемости (4.3.6) не выполняются, "квазилинейный" закон (1)
непригоден для описания поведения гипер-упругого тела. Однако, как
показал Сетх, он позволяет учесть некоторые особенности нелинейной
