Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 46

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 158 >> Следующая

говоря, четыре ветви, однако, если деформации не чрезмерно велики (угол
поворота триэдра главных направлений меры деформации Коши не превосходит
79 ), реализуется только одна ветвь (1976).
ПРИНЦИПЫ РЕЙССНЕРА И ХУ - ВАШИЦУ 145
§ 18. Смешанные принципы стационарности Рейсснера и Ху- Вашицу
В принципе стационарности Рейсснера (Е. Reissner, 1950) рассматривается
функционал Ws над вектором места R и тензором Пиола Р
Г3=Ш (P)-p0k-R]di> - JJ f°-Rdo-
v ot
-JJn-P. (R-Rx)do. (1)
°2
Здесь эх (P) - удельная дополнительная работа; Rx - заданный на о2 вектор
места. В другой записи в соответствии с (17.3) функционал Рейсснера имеет
вид
^3=ffinp)-P°k-R]^-Sf0-Rdo-$Sn.P-(R-RxMo. (2)
V 01 02
Варьируя функционал W39 получаем 6Г3 = 5$$ [бР- • VRT + Р- • 6VRT -
(эх)Р• • 6РТ - p0k-6r]dy -
V
- 5Jf°-6RJo-5Jn-6P. (R- Rx)'do -$$n-P.6Rdo.
Oj 02 02
Заменив поверхностный интеграл по о2 объемным, имеем JJn.p.eRdo^JJ п • Р-
6R do-J J n-P-6Rdo=
Oj О О j
=555 [(v.p).6R-i-p. - 6VRT]du-55 n-p-6R^°
и это позволяет представить бW3 в виде
dav 0 \ (0 \
- VR ) • • 6РТ + ( V - Р + р0к ] • 6R
do +
dP
+ 55 (n-P-f°)-6Rdo-55 n-6P-(R -Rx)do = 0. (3)
01 02
Отсюда вследствие произвольности задания 6R и 6Р в объеме следуют
соотношения
о дэv О
VP + Pok = 0, ^-VR. (4)
146
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ Ц','|, 4
На части поверхности о4 произвольна вариация 6R, на части о2 -вариация
6Р. Итак,
Используя функционал Рейсснера, не надо заботиться о выборе тензора Р из
множества статически возможных тензоров, в этом преимущество принципа
Рейсснера перед принципом стационарности дополнительной работы. Как и в
последнем выполняется соотношение (17.5) -тензор Пиола, определяемый из
принципа Рейсснера, удовлетворяет уравнению состояния материала.
Задавшись выражениями вектора места R в актуальной конфигурации и тензора
Р, содержащими некоторое число описывающих их функций материальных
координат и постоянных параметров, следует составить по ним выражение
функционала W3. Эти функции и параметры далее разыскиваются из уравнений
Эйлера вариационной задачи и диктуемых ею краевых условий. Этот прием
"двух аппроксимаций" (R и Р) с успехом применяется в задачах линейной
теории. Конечно, в нелинейной теории уравнения Эйлера для
аппроксимирующих функций нелинейны. Трудности, связанные с представлением
удельной дополнительной работы эх (Р), конечно, сохраняются и при
составлении функционала W3.
Эта трудность избегнута в принципе стационарности Ху - Ва-шицу (К.
Washizu, 1955).
Функционал задается выражением
Здесь С -некоторый тензор второго ранга, э (С) - выражение
удельной потенциальной энергии, в котором VR заменен тензором С. 1К4 -
функционал над тремя независимыми величинами Р,
С, R; по R составляется выражение VRT.
Вычисление вариации 61К4 в значительной части повторяет (3). Получаем
на о4: nP = f°; на о2: R ^Rx.
(5)
W*== Ш [э (С) - Pr- • (с - VRT) - p0k-r] dv -
V
(6)
0
0
бГ*=Ш [(fe-p)--6CT-(v.P + p0k)-6R
V
(с -vr). -6P dv+(n-P-f°).6Rdo-
n-6P-(R-Rx)do = 0.
(7)
sigl ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА - остроградского 147
Уравнения Эйлера и краевые условия в силу независимости
вариаций 6Р, 8С, 6R приводятся к виду
л, оо
Р = §' C = Vp- VP + Pok = 0, (8)
на ог: n-P = f°; на о2: R = RX- (9)
В записи (8) представлены как уравнения статики, так и определяющее
уравнение.
§ 19. Принцип Гамильтона - Остроградского
Действием по Гамильтону называется функционал над вектором места R(g\ q2,
q3\ i) при движении системы
<SP = \(M-W)dt. (1)
Здесь 9^ -кинетическая энергия
V v
W - потенциальная энергия системы, определяемая по (16.8)
W = S (э - р0к• R)dv - ^ f°• Rdo =
V Ox
V о,
Осуществляемое движение R (q1, q2, q3\ t) подлежит сравнению с движением
R-J-8R, в котором 6R -виртуальное перемещение, сообщаемое мысленно
частице из ее мгновенного положения в бесконечно близкое (синхронное
варьирование), 6R - непрерывная и дифференцируемая функция материальных
координат и времени. Операции варьирования и дифференцирования по времени
принимаются переставимыми
(SR)=6R. (4)
На концах промежутка времени [t0, вариации 6R принимаются равными нулю -
сравниваемые движения совпадают в начальный и конечный моменты этого
промежутка
6R (q1, q2, q3\ tu) = 0, 6R (q1, q2, q3\ tj = 0 (5)
Для каждой частицы среды.
Свойство движения, заключенное в вариационном принципе амильтона -
Остроградского, формулируется так: от всех
148 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ tlvi. 4
мыслимых (допускаемых связями) движений в промежутке времени [t0, f],
совпадающих в начале и конце этого промежутка, осу. ществляющееся
движение отличается тем, что для него действие af стационарно, его
вариация равна нулю
bof = 0. (6)
Надо доказать, что в этом требовании заключаются уравнения движения,
приведенные в § 10, включающие не только уравнения (гл. 2, § 6), но и
уравнения состояния среды.
Используя свойство вариации (4) и (5), имеем и t, /,
бЭ^ = ~ p0dv J 8v-vdt\ -i- J 6v-vdt ¦= J (6R) • vdt =
V t о f(y
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed