Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
представляется выражением
Нормальное напряжение в поперечном сечении а3 = const определяется
выражением
огУ G=--р33, а3 dO = р33 do = [А, (<7 - 2) + (^ + 2р) (с- 1)] do, (24)
так как определитель Y G преобразования плоской области а3 = = const в
плоскую область z3 = const равен отношению элементарных площадок dO/do.
Продольная сила в рассматриваемом теле оказывается равной
55 a3dO= p33do = I 5 5 (q -2)do + (l + 2\x) (ct - 1)Q0, (25)
a о"
пРичем Q0 - площадь поперечного сечения в отсчетной конфигурации.
Возвращаясь к (23), имеем
f = - pN = pi-, icV = - cp(z - z0), Ф (?)--= (2ц - cp)z{l, ?) + const.
(22)
и после вычисления, в котором используются формулы (15), (6), п°лучаем
c(cr]-fa2) + 4p^^i|) . (26)
(26)
220 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. г,
Это -первая формула Колосова - Мусхелишвили. Второй определяется
выражение
a2-a1-2tT11 = i2-T-i1-i1-T-i1-t (ix-Т*i2-J-12-Т• ix) =
1
:V G
дх2 "о дх1 . ( дх1 2 дх2
а?"
и после вычисления, в котором используются формулы (15), получаем
с (с, - о. - 2,'т") - - 1- (?)<•" (-?- + "' ~) -
4 !);((/) dz dz
KG q dt dt
(27)
Возвращаясь к представлению (20) силы f, составим выражения ее нормальной
fN и касательной fs компонент на дуге!. Обозначив N, S единичные векторы
нормали и касательной этой дуги, имеем
/n = N ¦ f, fs=S-f; 5 = (28)
Скалярное произведение двух векторов выражается через их комплексные
представления формулой
a-b = 4j- (ab + ab).
Заменив теперь в (28) силу f ее выражением (20), придем к формулам
Ь-т(/#+7?) = -тИ(r)'<9§#-ф'<С)5^
(30)
Напомним, что \dz\=dS, \dt,\ = ds.
Замечания. 1. В задаче о плоском напряженном состоянии рассматривается
деформирование тонкой пластинки (толщины 2/г0)> нагруженной по ее боковой
поверхности силами, параллельными ее средней плоскости а3 = 0 и
симметрично распределенными относительно нее. Торцевые поверхности a3 = +
h0 не нагружены. Такое состояние приближенно осуществляется при
преобразовании отсчетной конфигурации в актуальную, определяемом
формулами
ха = ха(а1, а2), х3~с(а1, а2)а3 (\а3\^Ю
при пренебрежении слагаемыми порядка hi, если довольствоваться
рассмотрением средних по толщине пластинки компонент ра
j?j ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА 221
тензора Пиола; средние значения ра3, р3а оказываются равными нулю, а
функция с (а1, а2) определяется условием обращения в нуль р33.
Действительно, по (31)
. . дх1 . . дх13 ... дс .
VR = Ь'( ТТ = '"'Р 1Г^а + 1з'зс-
да5 да да
так что
^ v7Dr • • / д*7 дху ,,s дс дс\
°"VR'VR-"'4^-sr+" i^u)+
7 Я3 0о4з "Ь ^ а W
да
и среднее по толщине пластинки значение меры Коши оказывается равным
п 1 (' п л з • • ( дх*1 дх7 1 , , дс дс \ ... "
h0
hQ
так как J a3da3 = 0. Пренебрегая слагаемым с множителем hi, -л"
приходим к выражению G, повторяющему (3), и для средних значений всех
величин сохраняются найденные выше соотношения (отбрасываем знак ~ над их
обозначениями). В частности, раз = рза = 0, а требование р33~ 0 приводит
по (14) к определению с
<32>
Теперь выражению ф(^) по (16) придается вид
Ш = (1+ЭД<?-2)-^(,-2)+2^!^(,-,^).
(33)
2. В задаче о плоской деформации призматического тела, когда
предотвращено смещение его торцов (с- 1), представлению ^(f?) придается
вид
ф(9) = (* + 2р)(9-2-^±^) (34)
и нетрудно проверить, что уравнения состояния для р"р в задаче 0 плоском
напряженном состоянии приобретают тот же вид (15), что и в плоской
деформации, если заменить % величиной
(35)
А + 2р
222 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
Действительно, по (33) и (34) требуется, чтобы
[?' I °|Л (п 2Д' + р)\ 4ц (к + ц) / 3^, + 2ц \
(А -j-хц) yq я, + 2ц ) X + 2ц \q 2 (% + $)}'
иначе говоря,
у I о.. 4ц(А + ц) ,, ЗЯ+2ц
Л + Д4- Я + 2ц ' А+^^Т+ДГ'
Оба эти соотношения удовлетворяются, если определить X' по (35) (или при
замене v на v/(l+v)). Известно, что такая же связь между постоянными в
законе упругости соблюдается в линейных плоских задачах.
3. При преобразовании поворота z = ?e10, 0 = const по (12)
dz dz iy 0 ,'п
-=г _ о 2 - = ge'x = 2eiu,
dt, и' as 4
х
V G=\
и \|)(<7) = 2jx по (16) при с = 1. Формулы (26), (27), как следовало
ожидать, дают щ = ст2 = т12 = 0.
При ф(<7) = 0, q = (\- v)_1 из тех же формул находим 0!
= о.2 = - 2ц, т12 = 0 - среда находится в состоянии гидростатического
сжатия интенсивности 2р.
§ 9. Изгибание полосы в цилиндрическую панель.
Деформирование полого цилиндра
1. Рассматривается деформирование параллелепипеда
- -b^Za2^.b, -l^a3^l
в цилиндрическую панель
г о г г i, -а<ф^а, -1^а3^1
- ее внутренний и наружный радиусы равны r0, rt, центральный угол 2а;
предполагается, что предотвращено смещение торцов а3 = + / в продольном
направлении. Изгибание в панель осуществляется распределением изгибающих
моментов по краям панели ф -±а (в отсчетной конфигурации по краям п2 =
±ф)' Цилиндрические поверхности г-^г0, г = гг (в отсчетной конфигурации
грани a}^- + h) свободны от нагружения.
Преобразование описывается формулами
z = х1 + ix2 - С {а1) е ь =ге1'ч), х3 = а3,
