Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(? = 2p(l+v)).
"Характеристику" материала (диаграмму e3,cr3 растяжения образца) называют
мягкой при AL/L < 0, жесткой -при AL/L >0.
4. Кручение растянутого стержня. Далее величины, относящиеся к
кручению, снабжаются индексом 1, а растяжению -
о о
индексом 2. В частности, (o-^Wj,
Необходимое условие существования (11.9) вектора w остается выполненным,
так как
j j J [tJ • (ot - (0,/j (T") ] dv = (1 + v) \iesa j j j ( p - Vip x i3)
dv - 0.
242 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
Далее по (4) и (5)
о о о Г 0 "1
Vv = Vvt + Vv2 = а |_а3 (IJ, - i2ij) + i3i, X р + V<pi3J +e3 (-vE2+i3i3)
и поэтому
To.vvr=T;.Vvi+T§-Vvn~T;-vvi+T"-Vvi=
= T?-VvI + T^-VvT+p.ae3 [ - vi3 (i3Xp) + i3 (i3Xp)+V<pi3] +
+ 2pae3 (1 + v) [i3 (i3 x p) + i3
Отсюда следует, что на формирование средних значений /i(t°- VvT), о
i3T0Vvri3 взаимодействие деформаций кручения и растяжения не влияет; их
действия аддитивны. Слагаемые взаимодействий, входящих в представление
(10.9) корректирующего тензора, образуют тензор
"/1л 1\ /0 0 0 О \ /00 о о \
Т =Е (т к + т~2п) К (ei-e2 + e2-8i) + n -s2+e2-ej +
о /00 о о \
+ (2 т - п) { Vvl-Vv2 + Vv|-VvJ
и легко обнаруживается, что первый инвариант этого тензора и его (ЗЗ)-
компонента равны нулю. Средние величины эффектов второго порядка в задаче
о совместном кручении и растяжении равны сумме этих величин в каждой из
деформаций по отдельности. Конечно, здесь речь идет об исключении из
общего правила-в нелинейных задачах эффекты действия отдельных факторов
не аддитивны.
5. Кручение сжатого по боковой поверхности стержня. Боковая
поверхность стержня нагружена давлением, пропорциональным осевой
координате f = - ^a3n. Непосредственно проверяется, что уравнениям
статики в объеме и на поверхности о
V-T° = 0, п-Т° =- qa* п
можно удовлетворить, приняв
Т°=- - qa*E2. (18)
Уравнения Бельтрами также выполнены, поскольку Т° лишь линейно зависит от
координат.
Линейный тензор деформации, вычисляемый по известной формуле, оказывается
равным
j 13] ЗАДАЧА О КРУЧЕНИИ И РАСТЯЖЕНИИ СТЕРЖНЯ 243
По нему интегрированием (например, по формуле Чезаро) находим вектор
перемещения
оа3 1-v , о /1-v 1 . v "
у=-^ггт^р+21г(тт^тР-р+гйа
и далее вектор малого поворота
(0 = -^ГГ^'зХР- (2°)
Необходимое условие (6.11.9) существования вектора w выполнено, так как
здесь
555^[тв.ю_ю/1(т°)]=
L/2
-V
2ix 1 -j-v
-L/2
J a3da3 Л do [Е2- (i3 х р) - 2i3 х р] = 0. (21)
Начало координат выбрано в центре инерции стержня
L/2
j a3da3 = 0, ^pdo = 0. (22)
-L/2
. Переходим теперь к рассмотрению совместной деформации кручения и сжатия
по боковой поверхности. Тензор в левой части уравнения (11.10) теперь
записывается в виде (величины, относящиеся к сжатию, обозначаются
индексом 3, к кручению - индексам 1) .
Ш tT° + v*) - Е/1 (т° (v* + уз))] dv =
V
L/2
= J da3 JJ do (T° (Vl) - qa3E2 + 2qa3E) = 0,
-L/2 S
как следует из (22) и (7). Надо рассмотреть теперь правую часть Ш [т° (у1
+ у3)-(и1 + (03)-((01-|-(0з) МТ0 (vt + v.))]dt/ =
V
= Ш [т° (ух)¦ Ю1 + т° (v3)• ю3 +Т°(у1)-щ, + Т (vs)-(c)i -
V
- (r).Л (Т° (Vi))-"i/i (т (Va))]du =
L/2
= 5 da3 $5^о[т0(у1)-(о3 + Т0(Уз)-(о1-ю1/1(т(у3))] = Л13,
-L/2
I
244
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. G
так как остальные слагаемые по (21) и (12) отпадают, остались лишь
величины, обусловленные взаимным влиянием деформаций. Обратившись к
формулам (6), (7), (18), (20), после вычисления получим
Эта величина отлична от нуля. Критерию существования корректирующего
вектора w нельзя удовлетворить, хотя для каждой из деформаций по
отдельности (а^О, q = 0), (а = 0, q^Q) он выполняется. Любое направление
служит осью равновесия, так как левая часть уравнения (11.10) -
тождественный нуль.
Этот пример невозможности построения эффектов второго порядка приведен в
монографии Гриоли (Grioli, 1962).
§ 14. Эффекты второго порядка в плоской задаче для полулинейного
материала
Задача рассматривается в предположении с = 1 в исходных определениях
(8.1); вводится, вместо (8.18), обозначение
Далее предполагается, что q > 2 (Я-]~р)/(А. + 2р), так что ф(9) > 0; при
ф(<7) = 0, (? = 2 (?1 + р)/(Я-1-2р,) по (8.16) и по (8.26), (8.27)
получили бы a1=ai =- 4р -среда находится в состоянии гидростатического
сжатия интенсивности 4р. При принятом условии М2(У- функция, не имеющая
нулей в рассматриваемой плоской области Si. Напомним также, что при' q =
2, ф(9) = 2р, М2 (?) = exp ty, напряженное состояние отсутствует.
Основное соотношение (8.19) связи искомых функций z(?, С) и М2 (?) в ^-
области переписывается в виде
ф(9) е*=Ф' (0 = 2рМ2(?).
(1)
Из него получаем
так что
: §м!
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
245
Выражение производной г по дуге контура I в области b (в отсчетной
конфигурации) приобретает вид
Такова нелинейная краевая задача разыскания двух аналитических в b
функций М (?), N (I).
Непосредственно проверяется, что правая часть (6) удовлетворяет условиям
статической эквивалентности нулю распределенной по контуру I области
