Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
оси равновесия не существует.
Система неоднородных уравнений (12) может при условии (16) не иметь
решений вовсе или иметь больше чем одно решение; иначе говоря, когда (12)
несовместна, не исключена возможность специальных ситуаций, в которых она
станет совместной. При существовании оси равновесия нагружение не
определяет единственного равновесия, так как повороты вокруг этой оси
переводят тело из одной ориентации в неотличимую от нее другую (при тех
же силах).
Доказано, что при В = 0, когда ось равновесия -любой вектор, система
уравнений (12) может оказаться несовместной при любой ориентации тела.
Учет нелинейности в этом случае не достигается внесением предложенным
приемом поправки к решению линейной задачи.
Решение краевой задачи (4) для вектора w мало доступно, как правило,
вследствие сложности выражений сил p0kx, fx-Но их специальная структура
облегчает вычисление некоторых осредненных величин. Этим можно
довольствоваться, когда нужда в учете деталей распределения напряженного
состояния отодвинута на второй план.
S12] ИЗМЕНЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА, ПОДВЕРГНУТОГО ДИСТОРСИИ 235
Начнем с определения среднего значения T°(w). По (2.3.7) и (5)
Т
* т°(w) dv:
= Тв = т{Ш^'[^'Т°(v) + r Wrdv~
о
- j j n * [Vv • T° (v) + r (v)] r do j
= -тШ[т°(у)-УуТ + т'(у)]^1' (19)
V
- было использовано преобразование Гаусса -Остроградского и правило
вычисления дивергенции произведения тензора на вектор г. Средние значения
первого инварианта тензора напряжения и определенного по нему объемного
расширения оказываются равными
(w) = - v{{fWT° (v)-e(v)) + /1 (Г (v))]dv,
V
(20)
так как первый инвариант произведения симметричного тензора на
кососимметричный равен нулю:
л (Т° (v).Q(v)) = 0.
По (19) составляется также среднее значение линейного тензора деформации
2^m(w) = Tm(w)-Egr^Iaffl(w). (21)
Эти же соотношения можно получить, применяя теорему взаимности в линейной
задаче определения w по силам p0kx, fx-
§ 12. Изменение объема тела, подвергнутого дисторсии
При отсутствии внешних сил (к = 0, f = 0) среднее значение Ти (ц) тензора
напряжения, как это следует из (2.3.7), равно нулю. Конечно, сам тензор Т
(и) при этом может быть отличным
236 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ 1.ГЛ. 6
от нуля. Например, напряжения возникают при наличии дистор-сии Вольтерра
или дислокаций более общей природы *).
В приближении эффектов второго порядка, основанном на выражении (10.7)
тензора Т (и), условие равенства нулю среднего значения этого тензора
представляется выражением
Среднее значение его первого инварианта ат (и) для материала Мурнагана по
(10.9) выражаются формулой
ного тензора деформации в(и) через величины второго порядка малости. Но
эта же величина может быть выражена через относительное изменение объема
тела. По (10.3) получаем
Исключив •& из этих уравнений, приходим к представлению
*) Понятие дисторсин Вольтерра можно объяснить так: из двусвязного тела
(тора, например) после его рассечения на поверхности о удален тонкий
слой, а затем конгруэнтные концы полученного односвязного тела снова
спаяны (в тор), причем им было сообщено малое поступательное перемещение
с и малый поворот Ь. Эту операцию образования нового тела из старого
Вольтерра назвал дисторсией. В подверженном дисторсии упругом теле
возникает напряженное состояние. Оно может быть рассчитано теоретически
по заданию векторов с,Ь. Последние могут быть экспериментально определены
измерениями смещений и поворотов концов разрезанного кольцеобразного
тела. Термин "дислокация" связывается с физическими явлениями, подобными
нарушению структуры кристаллической решетки, также создающими напряженное
состояние при отсутствии внешних сил.
V
V
555 [t"(u) + 28(u)-T°(u)+T'(u)]^ = 0. (1)
V
ат(и)= 45X5 Г(3^ + 2^(и)+(2^ + 3/-т + !-){Р +
V
V
0
V V
(Щdv¦ w
V
D
т
ЗЛ+2ц
Ш [(т^+3'-т+!)^+
V ^
-f- (^ЗЛ,-j- 6fx -f- Зт--|-)/! (s2) dv. (4)
§13] ЗАДАЧА О КРУЧЕНИИ И РАСТЯЖЕНИИ СТЕРЖНЯ 237
Входящие в него постоянные Мурнагана оказывается возможным выразить через
величины (5.3.21)-изменения второго порядка модулей объемного сжатия и
сдвига. Приходим к формуле, полученной Ценером (Zener, 1942) из других
соображений
^+2/3р1И{2 l + kxx (°) 6 ^хх (°)
V
Ъ2 +
+ [р + Р-хх(°)]/1 (5)
Входящие в нее инварианты •& = /, (в), 1Л (в2) определяются решением
задачи о напряженном состоянии подвергнутого дисторсии линейно упругого
тела.
Более общие результаты для анизотропных упругих сред приведены в работе
Тупина и Ривлина (Toupin R. A., Rivlin R. S., 1960).
§ 13. Эффекты второго порядка в задаче о кручении
и растяжении стержня
. 1. Линейная задача о кручении стержня. Ось Оа3 направлена по оси
призматического стержня, оси Оа1, Оа2-по главным центральным осям
поперечного сечения а3 = const; длина стержнй обозначается L, площадь
поперечного сечения S, полярный момент инерции Iр\ р обозначает вектор-
радиус точки в поперечном сечении, так что
Hpdo = 0, .^p-pdo = /". (1)
р-halJrhai' J J гии - 'о j j -1 p-
