Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
в которой V -предполагаемое известным решение линейной задачи
V.T° + p0k = 0, n-T° = f°, (2)
а корректирующий вектор w вносится, чтобы компенсировать
о
слагаемое второй степени относительно компонент Vv, которые
войдут в (10.11). Тензор Т°-линейный оператор над и
Т° (и) = Т° (v)+T° (w)
§ц] ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ 231
и поэтому
Vu.T°(u) =(vv + Vw)-(T°(v) + T°(w))" Vv-T°(v), (3)
Т' (u) " Т' (v)
- неучтенные слагаемые имеют по крайней мере третий порядок малости. Имея
в виду (2), теперь можно преобразовать уравнения равновесия (10.11) в
объеме и на поверхности к виду
V-T°(w) + p0kx = 0, n-T°(w) = fx, (4)
в котором играющие роль массовых и поверхностных сил векторы кх и fx
представляют операторы над v второй степени о
относительно Vv
кх = V - (vv-T° (v) + T' (v)), fx = - n - (vv-T° (v) + T' (v)). (5)
Известно, что необходимым условием существования решения краевой задачи
(4) является статическая эквивалентность нулю этой системы сил.
Непосредственно повторяется равенство нулю ее главного вектора.
Действительно,
5 5 J p0kx dv = J 5 5 V • ( W • Te (v) + Г (v)) dv =
V V
= 5S n-(vv-T° (v) + T' (v))do= -55 fxdo,
О О
что и требуется. По (2.3.8) остается выразить условие симметричности
силового тензора. По (2.1.16) и теореме Гаусса - Остроградского
В = 555 Pokxrcfo - 55 n-(vv-T° (v) + T' (v)) rdo -
= 555 P^dv - S5S [v.(vvT° (v) + T' (v))]rdo-
V V
~ 555 r5,^Vv'T° (у)+т' (y)) rsdv=
V
= ~~ 555 [Vv,T°(v) + T'(v)] dv.
V
Использовано представление дивергенций тензора третьего ранга
V-Qr=(v.Q)r + r*.Qr, = (v-Q)r + CT,
232 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
Итак,
B=-SSS^v-T° (v)+t"]t dv,
BT=-J5J [vv-T0(v) + T'(v)]^. ()
V
0 0 0 0 После замены Vv = e(v) - -fl(v) (e (v)-линейный тензор дефор-o
мации над v, Q(v) - тензор вихря этого вектора) силовой тензор
преобразуется к виду
В=- S И [(r) м •т° м+т° и • й (v)+т' (у)]dv-
° о о (7)
вт= - SH [е(у)*т° (у) -" (V)-Т° (v) + Т' (v)] dv,
V
0
так как тензоры e(v), T°(v), Т'(v) симметричны по их определениям (10.1),
(10.7). Условию симметричности силового тензора теперь придается вид
Вт= В: + = (т°Хю + юхТ°)йу=0,
V V
(8)
о о
причем о) - сопутствующий й вектор. Сопутствующий же кососимметричному
тензору под знаком интеграла вектор по (1.14.17) равен
- Те" (Т°Х(Й + <*>ХТ0)= - уб- ¦г0ип<в* (гиг"хг5-г"хг/и) =
= t0mn<i>srm X (г" X г,) = (г"ги • Г, - г,ги ¦ Г") =
о о = Т°-о)-o/j (Т°),
так как е - -ab= bxa, tmnrm-rn = I1 (Т). Условию (8) придается вид [т°
(v) • m (v) - <"(v)a]du = 0, a = /1(T°(v)) (9)
V
- таково необходимое условие существования решения задачи (2). Ему можно
удовлетворить, вспомнив, что линейная задача (2) для вектора v решается с
точностью до аддитивного слагаемого,
о
выражающего перемещение твердого тела v = v0-fa)0xr, а для о j о о
ректора (0=2-Vxv-с точностью до постоянного слагаемого су
J!l] ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ 233
О
Поэтому, фиксируя значение <*>' в некоторой точке тела, можно принять
г ООО
G)(V) = tt>' (V) фО)0
и представить (9) в виде GV 5SS (T°(v) -Еa)dv = - Щ [o' (v)-T° (v) -(o'
(v)a]do = c.
V V
(10)
Вектор с вычисляется по предполагаемо известному решению
задачи (2). Тензор в левой части (умножаемый на о>0) может быть определен
непосредственно по заданным силам p0k, f°. Действительно, по (2.3.7)
B = ffi Ро krdo+5Sf°rdu = 5SST0 (v)dv,
V О V
МВ) = Ш (т° (v))dy=ffi Pok-rdu+JJ f°-rdu.
V VO
Уравнению (10) придается вид
i0.[B-E/1(B)] = c (12)
и оно разрешимо, если тензор В-E/j (В) -неособенный
det (В - Е/х (В)) Ф 0. (13)
Проверка этого критерия, как сказано, осуществляется по зада-
нию внешних сил p0k, f° и не требует решения линейной задачи.
При невыполнении условия (12) краевая задача (2) не имеет, вообще говоря,
решения.
Осью равновесия а тела в отсчетной конфигурации назовем постоянный
вектор, определяемый условием
Щ (axr)xp0kdn + 5S (ахг)хf°do = 0 (14)
V О
при неизменных по величине и направлению внешних силах с равным нулю
главным вектором. Оно выражает статическую эквивалентность нулю этой
системы сил, приобретаемую при повороте тела вокруг а на 90°. Уравнение
(14) преобразуется к виду
(кг - Ек • г) dv -j- а ¦ ^ (f°r - Ef° • г) do ¦= 0
V О
Или по (11) к виду системы однородных уравнений
а-[В-ЕМВ)] = 0 (15)
234
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
и может иметь отличные от нуля решения при условии
det (В - E/j (В)) = 0. (16)
Представив симметричный тензор В в главных осях з
В = 2 /1(В) = &1 + &2 + &3,
S- 1
можно придать уравнениям (15) вид
а1(Ь2 + Ь3) = 0, а2ф3 + Ь1) = 0, а3ф1 + Ь2) = 0. (17;
Вектор а остается произвольным при b2-\-b3 = 0, Ь3 + Ьх = 0, blJrb2 = 0
или, что то же самое, В = 0. Если Ь2-^Ь3 = 0,Ь1Ф - Ь3, Ь±Ф-Ь2, то a = et;
при а-е3 = 0 вектор а расположен в плоскости (ех, е2). Конечно, возможны
расположения оси равновесия по осям е2, е3 и в плоскостях (е2, е3), (е3,
е^. Во всех этих случаях
det [В - ЕЛ (В)] = ф, + Ь2) фг + Ь3) ф3 + К) = 0. (18)
При условии же (13) ни один из этих множителей не нуль и а = 0 по (16) -
