Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 75

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 158 >> Следующая

придем к соотношению
у (VR) = у(U-Ox -Охт) = у (U) = О, (3)
являющемуся решением функционального уравнения (2). Итак, сохранив
обозначение уравнения связи буквой у, имеем
y(VR) = y(U) = y(GV2) = y(G) (4)
о
при всех VR. Отсюда, вспомнив определение (II.2.7) производной скаляра по
тензору и сославшись на (II.3.5), имеем
бТ = Y (VR + SVR) - у (VR) = у0 • • 6VRT = 2у0 • VR • • 6VRT = 0.
VR
15)
254 Несжимаемый упругий материал [гл. 7
2. По (2.7.5) удельная элементарная работа &'аи) внешних сил, равная
вариации удельной потенциальной энергии э, представлялась сверткой
б'а(е) = бэ = э0 •-SVRT= Р--6VRT = 29G-VR-• 8VRT (6) VR
и из этого соотношения, как условие произвольности вариаций
о
SVRT, следовало представление тензора Пиола в форме произ-
/ ° \ о
водной э по VR. Теперь же следует учесть связанность
о
вариаций SVRT условием (5). Хорошо известный прием введения лагранжева
множителя Я позволяет записать (6) в виде
8э = 2 (э0 + Яу0) • VR • • 8VRT = Р • 8VRT (7)
о
и вновь считать за счет выбора Я вариации 6VRT независимыми. Это
позволяет представить тензор Пиола в материале с наложенными связями в
виде
Р = 2 (эо Яус.) • VR = Р? -]~ (8)
причем в задании э должно быть учтено уравнение связи (4). Подобно
известной в общей механике классификаций' сил на задаваемые (активные) и
реакции связей (реактивные силы), тензор представлен здесь суммой
слагаемых: "определяемого" по э напряжения Р? и реактивного Ps
P?=29G-VR = 90 , Ps=^y0-VR= Яу 0 . (9)
VR VR
Аналогично разбиение тензора напряжения Коши на "определяемое" напряжение
Т? и "напряжение связи" Ts
T = T? + TS, ТЕ= У -§ \Ю-Ре=2 У| VRT-aG-VR,
Т5 = 2Я j/-§ VRt.Yg-VR. (10)
Сказанное обобщается без труда на случай нескольких связей Y,.(G) = 0 (i
= 1,2, ...,s). (11)
Введя лагранжевы множители Я1Р Я2 Xs, получим
УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ С НАЛОЖЕННЫМИ СВЯЗЯМИ
255
В число подлежащих рассмотрению уравнений включаются уравнения связей
(11), чем компенсируется вхождение такого же числа неизвестных klt к2,
..., ks.
3. Удельная мощность напряжений связи, определяемая сверткой тензора
напряжений с тензором скорости деформации D по (2.7.12), (1.10.10),
(1.13.10), равна
Ts D = 2 )/§¦ 7iVRT-y0-VR--D =
= 2|/| TiyG- -VR-D-VRT= у I kyQ--G.
И так,
TS-D=/|^"G = j/f Ay(G) = 0, (13)
таккаку(О) = 0- уравнение связи должно выполняться при всех t. Удельная
мощность напряжений связи оказалась равной нулю. Этим на механику
сплошной среды распространено понятие идеальных связей общей механики.
Доказывается обратное предложение: если соотношение (13) выполняется во
всех допускаемых связями движениях (для всех D), то тензору Ts должна
быть придана структура (10). Действительно
G = 2VR D VRT, 2D = Vr G VrT,
V •D = yTr ¦Vr-G-Vrr = -i-Wr-Ts-Vr- G.
Вместе с тем по уравнению связи
у (G) = 0, у0 • • G = 0
и введя лагранжев множитель -kj/"'Ц-, получаем (vrT-Ts.Vr-2?i]/-| уо) • -
G = 0, VrT-Ts-Vr = 2A|/|- у0,
откуда снова приходим к (10). Распространение на механику сплошной среды
соотношения (13) позволяет прийти к представлению тензора напряжений
связи, не используя понятия об удельной потенциальной энергии деформации.
Допустимо, иначе говоря, рассматривать "упругий", а не "гиперупругий"
материл.
4. Одним из примеров наложения связей может служить материал с
вмонтированными в него в одном направлении и с достаточной плотностью
нерастяжимыми нитями. Уравнению связи (4) по (1.4.2) может быть придан
вид
y(G) = e-G-e-1 = 0, (14)
256 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
О
где е -единичный вектор, задающий направления нитей в отсчетной
конфигурации. Сам материал ("матрица") изотропен. Нетрудно
понять, что вектором е определяется одно из главных направлений тензора
меры деформации G, а соответствующее этому направлению собственное
значение равно 1. Это следует из определения главных направлений (1.9.1)
тензора
Ge=A,e, e-Ge=A,
о
и этому соотношению по (14) удовлетворяет е = е, А, = 1. По (1.9.7),
(1.9.8)
рз (1) = - 1 + Л (G) - /2 (G) + /3 (G) = 0, /2 (G) = I, (G) + /3 (G) - 1
(15)
и удельную потенциальную энергию э можно считать функцией, скажем, /1( /3
Э (/!, / 2, /3) = Э (/j, /j + /3 - 1, /3).
Определяющее напряжение по (4.3.4) оказывается равным
Те = 2 Ц- (ФоЕ+ФгР + ФзТ2)/^/^/,-!.
причем фг находится по формулам (4.3.5), в которых /2 следует заменить
его значением (15).
По (II.3.8) и (10) тензор напряжений связи представляется выражением
о о г- о ООО г- _
7о = ее, Ts = 2 у ?iVRT-ee-VR = 2?i ]/ -J ее,
причем е - единичный вектор направления нитей в актуальной конфигурации -
см. (1.4.17) и (14).
Уравнению состояния придается вид
Т = 2 j/^ (Aee + ^E + ^F -M|>2F2)/2= /,+/,-!,
а уравнение связи можно записать также в виде о о
е • G • е = е • Vr • G • Vrт • е = е • е = 1, Gskesek = 1.
Здесь eh - контравариантные компоненты е в векторном базисе актуальной
конфигурации.
Конечно, здесь имелось в виду, что связь (14) - удерживающая, иначе
говоря, приведенные соотношения неприменимы, если
о
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed