Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
ri-r0
Напряжения определяются по формулам (8.26), (8.27)*).
§ 10. Эффекты второго порядка. Исходные уравнения
Уравнение состояния линейно упругого изотропного тела
T = V}E+2p,e ^6=/1(е), ? = y(vu + VuT) (1)
выводится в предположении о малости компонент градиента век-о
тора перемещения Vu при последовательных пренебрежениях второй и более
высокими степенями относительно этих величин. В гл. 6, § 6 уже
говорилось, что учет количественных отклонений от предсказаний линейной
теории естественно связывается с сохранением слагаемых второй степени по
этим величинам - с рассмотрением "эффектов второго порядка".
В § 14 уже говорилось, что учет более высоких степеней связан, как
правило, с необозримо громоздкими вычислениями.
В этой книге не отведено также места построениям рядов по о
степеням Vu и исследованию их сходимости.
В определяющем уравнении изотропного упругого тела (4.3.4)
мера деформации F должна быть заменена ее представлением о
через Vu
00 ( О \ / 0 \ О 00
F = VRT- VR = уЕ + VuTy • (,Е + VuJ = Е + 2e(u) + VuT-Vu. (2)
Тогда в принимаемом приближении
оо оо F2=^ E + 4? + 4e2 + 2VuT- Vu,
71(F) = 3 + 2& + 2o).o) + /1(e2), (3)
/2( F) = 3 + 46 + 262 + 4o)-o),
/3 (F) = 1 + 26 + 262 + 2o) • to -/j (e2)
*) Предложение использовать для решения задачи преобразование (10)
нсходит от Н. X. Суюншкалиева. В его (еще не опубликованной) работе
рассмотрены другие варианты постановки задачи.
8*
228 ' ЗАДАЧИ нелинейной ТЕОРИИ сжимаемой СРЕДЫ [гл. Г]
- была использована формула (1.7.13). Определяющее уравнение приводится к
виду
Т = 2/з1/г [е (Ф0 + Ф1 + Ф2) + 2 (ф! + 2ф2)? +
-f (xpi + 2ф2) VuT- Vu + 4гф2еа]. (4)
Здесь по (4.3.5)
/ = Фо + Ф1 + + (/1 - 1) э2 + /3э3,
Ф = ф1 + 2ф2 = э1 + (/1 -2)э2, ф2 = -э2, (5)
причем эк = дэ/д1к. Далее эти величины определяются с требуемой
точностью: f - с учетом квадратичных, ср - линейных слагаемых; значения в
натуральной отсчетной конфигурации обозначаются нуликом справа сверху.
Используются формулы (4.3.22), (4.7.12) и (4.7.13)
, Г=Ф1 + 2з, + зв)0 = 0, ф°=(э1 + в,)° = - (э2 +
з3)° = у[х,
1 , Г/ д , " д , д Т1 =
д]1~г2дГ2 + дГ3) f
= [э11 ~Ь 2э22 -+- э33 2 (2э12 + 2э23 -j- э13) + э2 4-
э3]°. (6)
Рассматриваемые величины разлагаются в ряды по степеням 1Х - 3, /2 - 3,
/3 - 1. С требуемой точностью получаем, использовав формулу для К,
Ф-1,+29(|? + 2|?+|г)- =
= у р + 2й (эп -f- Зэ12 + 2э22 + Э31 + э32+э2)° =
= у р + у - 2d (з12 + э3 +э13 + Зэ23+ э33)".
На этом этапе тензор напряжений Т можно представить выражением
Т = 2/;71/2Е/ + 2р (1 - {}) в + 2te(t -
8ей(э12 -|-э3 +э13 Зэ23 + э33)° - 8э2е" + pVur- Vu =
= 2/^'/2E/-f 2 (1 - 0) e + 2e-T0 + 893?2 + pVuT-Vu -
0
- 8 (512+5з + э1з-ЬЗэ234-Э33)0?гК
причем использовано представление (1) тензора напряжений в отсчетной
конфигурации и формула (6) для р; 1з'/г заменено на 1- •& и 1 при
умножении на линейное и соответственно квад-
10]
ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
229
ратичное слагаемые. Остается дать представление / рядом с точностью до
квадратичных слагаемых
/ = /° + 2(6 + о>-а>)
, J- + 2-L + -
l\dlt r dl^ dh
']•+
+2^[{w2 + W3 )f_
д2} \в-
+4 Г(Л -3)' (!?)' + • • • + 2<Л - о <л -з) №>-ал
= 4 (" + "¦")+т/> (еа) + 2 /, (в'
2
+ 262
a/2 + a/~) f
+
д2
77? + 4 772+ 4
а2
dll
a/i д/2 д!
д2 |_4 32
а2
а/2 а/.
а/3а/
+
X (ч | А, /
= 7Г$ + ТГ ( <в'(c)-
а/:
+2"-[(++2++,+
Искомому представлению тензора напряжений Коши придается теперь вид
Т=(1-6) Т° + 2?.Т° + Т',
Т' = Е {л(в).(в + 4/х
?2; +4U2-hW
а/2 ^ di">1
+
+ Л62| + 8э§е2+5e6 + pVut-Vu, (7)
В - -8 (э12 -1~э3 + э13 -f- Зэ23 +э33)°.
(8)
Например, для материала Мурнагана при задании f по (5.3.8) и удельной
потенциальной энергии э по (5.3.2) получаем
причем А = 4
А + 2 -4-~Yf dh^ а/, +a/J
± I jL\ f
dl2^ dls I 1
и тензор напряжений представляется выражением
Т' == Е
Т = (1-т-Ф) Т0 + 2?-Т°+Т',
(<"•<*>+4+ М)-(т-т) (^2-7i (е2))+^2
+
-fn?2+(2m-п) ?$ + pVuT-Vu. (9)
230 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 0
При переходе к тензору Пиола в формуле (2.7.2) достаточно принять
/з/г= 1 VrT = V (R - u)T= Е-VuT,
о о
так как Т° в (8) линейно выражается через Vu, a VuT"VuT, l'J* = 1 -f й в
линейном приближении. Получаем
Р = /'/!VrT.T = (1 -j-ф) (е - VuT)•Т = Т° +Vu-T° + T'. (10)
Только в линейном приближении тензоры Пиола и Коши совпадают. Учет
слагаемых второго порядка требует их различения. Уравнения равновесия в
объеме и на поверхности должны быть записаны в виде
V.P + Pok = 0, n-P=f§, (И)
причем, учитывая слагаемые первого порядка, по (1.8.7) имеем §= ]/
|(n.VrT.Vr.n)V2=(l+T) [n- (е + Vut) •
( о \ Т/2 Г о у/2
•^E + VuJ-nJ = (1+0) |_l-f2n-e(u)-nj -
так что
^-= 1 + & + п-е(и)-п. (12)
§ 11. Эффекты второго порядка. Построение решения
Исходим из уравнений равновесия (10.11) в объеме и на поверхности через
тензор Пиола, определяемый выражением
(10.10). Поверхностные силы предполагаются "мертвыми".
Вектор перемещения представляется суммой двух векторов
u = v + w, (1)
