Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(О
ИЗГИБАНИЕ ПОЛОСЫ. ДЕФОРМИРОВАНИЕ ЦИЛИНДРА
223
Так что г = |z | = С(а1), ф = а -- значениям а2 = ±6 соответствует
азимутальный угол ф= + а. По (8.12)
о dz_ dz . dz _____
да*~1 da2 ~
С' (а^)+~С(а^)
откуда по (8.16), (8.18) имеем
q^C' {а})+~С{а}),
Ф' (0---- (Я + 2р) \С' (а1) +" С(а1)-( I-v)-*
b == qe'x,
¦ O'
t-7 а2 b
и дифференциальное уравнение, определяющее С (а1), получается из условия
dt
да2
Его решение при краевых условиях
С (- h) = r0, С (h) г 1
записывается в виде
Id-v)-1-
(2)
(3)
, сш1 ch -- о
С ^ = У L^ + Го) "chry" + (Г1 _ Го)
shlT
sh у
+
а (1 -v)
ch
а a1
ch у
Г
ah
(4)
Неизвестные радиусы панели определяются условиями отсутствия нагружений
на поверхностях a1^±h. По (5.20) при /= 0, ds-±;da2 получаем
dz
21*78 = Ф'(?)§: 2|а-?С(±А) = (Ь+2ц) С'(±ft) + ?C(±h) и по (4)
ri + r0 = 2-?, r,-r0 = 2^ thy.
(5)
Теперь С (а1), С'(a1), q, ф (q) представляются выражениями
224
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
Компоненты /N, fs напряжения на площадках а2 = + Ь определяются по
формулам (8.29), (8.30); на этих площадках
ds = =fda\ = (а')е-'\ Ф'&) = Ц(д)е%
§=с'и-
Получаем
. а а1 , v . а а1 \
СП -г- + 1 sh -г- =
b 1-v b )
Е 1 gjy(r)0'
1 -v2 ch у ' b 1 fs = 0 (E = 2|*(1 +v)) (7)
- касательные силы на краях а2=±6 отсутствуют, главный вектор нормальных
напряжений, как ожидалось, равен нулю й л
$Ms=nrJrs~Jshv'to,-°-
- h -h
Их главный момент относительно оси панели в любом сечении а2 - const,
отнесенный к единице длины по оси а3, оказывается равным
т" = J С (a2) fN dS = (1_*)ch,y | J (sh^-^sh^1 ch^) da2=-
-h
Eh2
1 -v2 y''
Из этого уравнения по заданию момента "т° "определяется центральный угол
панели a = by/h.
Разлагая правую часть (8) в степенной ряд по у, имеем 2 ?/г2 ( 4
3 i_vnY-jY3+ ••
- первое слагаемое определяет решение линейной задачи об изгибе тонкой
плиты толщины 2h и длины 21 (в направлении о3) моментами, распределенными
по краям а2 = + Ь).
Продольная сила (отнесенная4 к единице длины по оси а2) вычисляется по
(8.25)
Q = ^J(<7-2)da1 = -|^(l-^). (9)
-h
2. Деформирование полого цилиндра. Преобразование, осуществляющее
плоскую деформацию полого достаточно длинного
§9]
ИЗГИБАНИЕ ПОЛОСЫ. ДЕФОРМИРОВАНИЕ ЦИЛИНДРА
225
цилиндра, задается соотношениями
R = f (г), Ф=ф + 0(г),
(10)
Здесь г, ф, г -цилиндрические координаты частицы в отсчетной натуральной
конфигурации (ее материальные координаты), R, ф, Z -в актуальной. Функции
R(r), 0 (г) подчинены краевым условиям
f(r0) = r о, }(г1) = г1, 0(г") = О, в(г1) = а, (И)
причем
-внутренний и наружный радиусы цилиндра.
Об этой постановке задачи говорилось в гл. 4, § 13. Внутренняя
поверхность цилиндра заделана. Наружная заключена в жесткую обойму, с
которой она скреплена по всей длине I. Рассматривается деформированное
состояние, обусловленное поворотом обоймы вокруг оси цилиндра на угол а.
Вектор места частицы в актуальной конфигурации может быть определен
комплексной координатой
(12)
= f (г) е'(ч>+е (г" = f (Г) ею(г) у 1.
Через ? обозначается, как в § 8, комплексная координата в отсчетной
конфигурации; имеем
У к,
е"р:
д
дг?
По (12) и (13) находим , dz dei(p 'dei(P dl
'VГ
dl V J 2 Г
dl 2 у
С
- В- tф
2 e '
(13)
n dz _ " dz dr *di~zd?di~
i
f (r) + jf (r) + /0' {r)f (r) eI-e(r)=r-(9(r)+,(r". (14) Здесь функции от
г (но не от ф) определены выражениями
<7 =
cos у = - * q
Г (г)-
f(r)
Г(г)+[У
+ /2 (Г) 0'V)
sin у =- / (г) 0' (г).
(15)
2 (к -f- ц) Х + 2ц
По (8.13) и (8.16) имеем
Х = 0 + у, гр(^) = (Л-f 2р)
(было уже принято в (10), что с=1). Введенная соотношением (8.18) функция
Ф' (Q представляется теперь выражением
2 (А, (х)
Ф' (?) = (Я+2|г)
e'(0+v).
(16)
А. И. Лурье
226 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [Гл. 6
Итак, эта разыскиваемая в кольце г0^.г^.г1 и представляемая в нем рядом
Лорана функция комплексного переменного оказалась зависящей только от г.
Поэтому она постоянна. Принимается обозначение
Ф' (?) = С^ + 2ц) D - б1'13, D = const, р = % = const. (17)
Задача сведена к рассмотрению системы дифференциальных уравнений
f +iy + /20,! = D2 или (г/),2 + г720'2 = ^2, (18)
/' + -
cos у = --ц- - cos (Р - 0), siny = = sin (j4 -0). (19)
Из последней получаем
r/sin(p-e) = c, (го
где С -новая постоянная, причем, обратившись к (11), имеем
r?sinp = C, rjsin (Р - а) = С, = мп8?~-^. (21)
Исключив теперь rf с помощью (20) из выражения (18), после замены С
значением (21) и очевидного вычисления придем к дифференциальному
уравнению
9'* PV2 dQ Dr (!?9)
sin4 (Р-0) r4 sin2 р ' sin2 (р 0) ~ го | sin Р | ^
Его решение после определения постоянных по условиям (11)
приводится к виду
ctg Ф - 0) = 4=4 ctg (р - а) + 4=4 ctg р. (23)
Г1 - Г0 Г1 - Г0
Это уравнение совместно с соотношением
fr sin (Р - 0) = ^sinp (24)
и формулой для определения постоянной (4
r|_sin(P-а)
г\ sin р
дает решение задачи.
Jiol ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 22?
Заметим, что определенная выше постоянная D оказалась равной
В = 2 г°- [ctg (Р - об) - ctg fi] | sin fi |. (26)
